求整數的近似平方根（牛頓迭代法）

曾經面試遇到過一道編程題：

給出一個整數，求其近似平方根。

當時沒有想到更好的方法，就暴力進行了破解，這當然不會留下好的印象。其實，這道題使用牛頓迭代法可以十分高效的解決。

一、什麼是牛頓迭代法

假設有函數：，要想求出其根，則可以：

1. 給出一個初始點，則在該點的切線爲：；
2. 沿着切線方向，與橫軸相交，也即令：，則求得：；
3. 更新，令：；
4. 按照1~3步驟迭代下去，直到精度滿足要求；

上述算法的第1、2步，其實也就是函數在處的泰勒展開取前兩項：

上述泰勒展開式，取前兩項並使之等於0，則有：，同樣可以得到步驟2中的迭代公式。

 

牛頓迭代法示意

二、解決求根問題

對於求一個整數近似平方根這個問題，我們可以簡單做一個轉換，使得問題變爲一個方程：。對於方程，是已知待求平方根的整數，爲我們的求解目標，此時，我們的目的就變成了求解的根了！

那麼，利用上述的牛頓迭代法，即可輕鬆解決。廢話少說，直接上碼：

def square_root(n:int)->float:
    """ f(x) = x^2 - n = 0，求該方程的根
    """
    x0 = 1
    i = 0
    while True:
        i += 1
        x1 = x0 - (x0**2 - n)/(2*x0)
        if x1 - x0 < 1e-10 and x1-x0> -1e-10:
            print("total iterations: ", i+1)
            break
        x0 = x1
    return x1

代碼中：

我們給定初始值爲1，這裏需要注意的是，我們給的初始值不能是方程的極值點，否則利用牛頓迭代法則無法繼續優化下去；

設定了迭代結束條件：，當滿足該條件時，說明求解的精度已經很高了，此時的迭代結果即可作爲近似根了。

三、拓展一下

第二部分，給出了使用牛頓迭代法求解給定整數近似平方根的方法，我們同樣可以用於處理其他問題，如求解給定整數立方根..n次方根、給定任意方程，求其近似解等問題。

下面給出求解立方根的解法，與求解平方根十分相似，唯一不同之處就在於目標迭代公式稍微發生一點變化：

def cube_root(n:int)->float:
    """ f(x) = x^3 - n = 0，求該方程的根
    """
    x0 = 1
    i = 0
    while True:
        i += 1
        x1 = x0 - (x0**3 - n)/(3*x0**2)
        if x1 - x0 < 1e-20 and x1-x0> -1e-20:
            print("total iterations: ", i+1)
            break
        x0 = x1
    return x1