51Nod 2080 最長上升子序列 動態規劃

1. 題目描述

1.1. Limit

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1.2. Problem Description

一個數列的最長上升子列，是指其所有遞增的子列中最長的一個子列

給定一個長度爲 $n$ 的數列 $a_n$，求這個數列的最長上升子列的長度

例如對數列 1 7 2 8 3 4，這個數列的最長遞增子數列是 1 2 3 4，長度爲 4；次長的長度爲 3， 包括 1 7 8、1 2 3 等。

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1.3. Input

第一行一個正整數 $n$，表示數列元素個數，$n \le 1000$

第二行 $n$ 個正整數，從左到右給出數列的每一項

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1.4. Output

一行一個正整數，表示最長上升子數列的長度

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1.5. Sample Input

8
5 1 6 8 2 4 5 10

1.6. Sample Output

5

1.7. Source

51Nod 2080 最長上升子序列

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2. 解讀

通過動態規劃求解最長上升子序列。

定義狀態 $dp[i]$，表示以第 $i$ 個數爲結尾的最長遞增子序列的長度，那麼：

$dp[i] = \max\{0, dp[j]\} + 1$

滿足以下條件

$0 < j <i$

$A_j < A_i$

$A_j$ 和 $A_i$ 表示序列中第 $j$ 和第 $i$ 個數的數值。

最後答案爲 $\max\{ dp[i] \}$

3. 代碼

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXN 1001

int n, list[MAXN];

// 求最長上升子序列長度
int LIS()
{
    int ans = 1;
    int dp[MAXN];
    dp[1] = 1;
    // 對所有數進行循環
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        int max = 0;
        // 對所有小於i的數進行循環
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            // 若找到符合條件的最大值
            if (dp[j] > max && list[j] < list[i]) {
                // 記錄最大值
                max = dp[j];
            }
        }
        // 將當前遍歷的數位計算在內，當前的最長上升子序列長度爲max + 1
        dp[i] = max + 1;
        if (dp[i] > ans) {
            ans = dp[i];
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while (cin >> n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> list[i];
        }
        cout << LIS() << endl;
    }
    return 0;
}

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