2021考研數學 高數第五章 定積分與反常積分

1. 背景

前段時間複習完了高數第五章的內容，我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，方便在移動設備上進行訪問和後續的補充修改。

2. 定積分

2.1. 定積分的定義

• 定義：

$\int_a^{b} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}}$

其中$\lambda = max\{\Delta x_i\}, i\in [1, n]$，$\xi_i$爲在$[x_{i - 1}, x_i]$上任取的一點。

• 利用定積分求極限：

若積分$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$ 存在，將$[0, 1]$區間等分，此時$\Delta x_i = \dfrac{1}{n}$， 取 $\xi_i = \dfrac{1}{n}$， 由定積分的定義得

$\int_0^{1} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}} = \lim\limits_{n \to \infty}{f(\frac{i}{n})}$

2.2. 定積分的性質

2.3. 積分上限函數

• 定義：

變上限的積分$\displaystyle \int_a^{b} {f(x)} dx$是其上限的函數，常稱之爲積分上限函數。

• 定理：

如果$f(x)$在區間$[a, b]$上連續，則

$( \int_{a}^{x} f(t) dt )' = f(x)$

如果$ f(x) $爲$[a, b]$上的連續函數，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$爲可導函數，則

$( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) dt )' = f[ \varphi_2(x) ] \cdot \varphi_2'(x) - f[ \varphi_1(x) ] \cdot \varphi_1'(x)$

2.4. 定積分的計算

2.4.1. 牛頓-萊布尼茨公式

設$f(x)$在$[a, b]$上連續，$F(x)$爲$f(x)$在$[a, b]$上的一個原函數，則有

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt$

2.4.2. 換元積分法

2.4.3. 分部積分法

$\int_{a}^{b} u dv = uv \Big|_a^b - \int_{a}^{b} v du$

2.4.4. 利用奇偶性和週期性

2.4.5. 利用已有公式

3. 反常積分

3.1. 無窮區間上的反常積分

定義：

1. 設 $f(x)$ 爲 $[a, \infty]$ 上的連續函數，如果極限 $\displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$ 存在，則稱此極限爲函數 f(x)在無窮區間 $[a, \infty]$ 上的反常積分，記作 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$，即

$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$

這時也稱反常積分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 發散。

2. 設 $f(x)$ 爲 $[-\infty, b]$ 上的連續函數，則可類似的定義函數 $f(x)$ 在無窮區間$[-\infty, b]$ 上的反常積分

$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$

3. 設 $f(x)$ 爲 $[-\infty, +\infty]$ 上的連續函數，如果反常積分

$\int_{-\infty}^{0} f(x) dx \text{和} \int_{0}^{+\infty} f(x) dx$

都收斂，則稱反常積分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ 收斂，且

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) dx$

如果至少有一個發散，則稱 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ 發散。

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常用結論：

$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p > 1 & , \text{發散} \\ p \le 1 & , \text{收斂} \\ \end{aligned}\right. }, (a>0)$

3.2. 無界函數的反常積分

如果函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的任一鄰域內都無界，那麼點 $a$ 稱爲 函數 $f(x)$ 的瑕點（也稱爲無界點）。無界函數的反常積分也稱爲瑕積分。

定義：

1. 設 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上連續，點 $a$ 爲函數的瑕點。如果極限 $\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$存在，則稱此極限爲函數 f(x)在無窮區間 $[a, b]$ 上的反常積分，記作 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx$，即

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$

這時也稱反常積分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 發散。

2. 設 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上連續，點$b$ 爲函數 $f(x)$ 的瑕點。則可類似的定義函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上的反常積分

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$

3. 設 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上除 $c$ 點外連續，點$c$ 爲函數 $f(x)$ 的瑕點。則可類似的定義函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上的反常積分

$\int_{a}^{c} f(x) dx \text{和} \int_{c}^{b} f(x) dx$

都收斂，則稱反常積分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 收斂，且

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$

如果至少有一個發散，則稱 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 發散。

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常用結論：

$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{發散} \\ p \ge 1 & , \text{收斂} \\ \end{aligned}\right. }$

$\int_{a}^{b} \frac{1}{(b-x)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{發散} \\ p \ge 1 & , \text{收斂} \\ \end{aligned}\right. }$