2021考研數學 高數 第一章 函數 極限 連續

---

1. 背景

前段時間複習完了高數第一章的內容，我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，方便在移動設備上進行訪問和後續的補充修改。

2. 極限的存在準則

2.1. 夾逼準則

若存在$N$，當$n>N$時，$x_n \leq y_n \leq z_n$ ，且$\lim\limits_{{n\to \infty }}{x_n} = \lim\limits_{{n\to \infty }}{z_n} = a$，則 $\lim\limits_{{n\to \infty }}{y_n} = a$.

2.2. 單調有界準則

單調有界函數必有極限，即單調增（減）有上（下）界的函數必有極限。

---

3. 常用的求極限方法（8種）

3.1. 方法1 用基本極限求極限

• 常用的基本極限

$\lim_{{x\to 0 }}{\sin x\over{x}} = 1 \tag{1.1}$

$\lim_{{x\to 0 }}{(1+x)^{1\over{x}}} = e \tag{1.2}$

$\lim_{{x\to \infty }}{(1+{1\over{x}})^x} = e \tag{1.3}$

$\lim_{{x\to 0 }}{{a^x - 1}\over{x}} = \ln{a} \tag{1.4}$

$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{n}}} = 1 \tag{1.5}$

$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a}}} = 1,(a>0) \tag{1.6}$

$\lim_{{x\to \infty }}{{{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + a_1x + a_0 }\over{{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + b_1x + b_0}} = { \left\{ \begin{aligned} &{a_n\over{b_m}}, &n=m\\ &{0}, &n<m\\ &{\infty} , &n>m\\ \end{aligned}\right. } \tag{1.7}$

注：趨向於無窮時看高次項，趨向於0時看低次項

• “$1^{\infty}$” 型極限常用結論

若$\lim a(x) = 0, \lim \beta(x) = \infty$，且$\lim \alpha(x)\beta(x) = A$，則
$\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A$

可以歸納爲以下三步：

1. 寫標準形式：原式 $=\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}$；
2. 求極限：$\lim\alpha(x)\beta(x) = A$；
3. 寫結果：原式$=e^A$.

3.2. 方法2 利用等價無窮小代換

• 常用的等價無窮小 當$x\to 0$時

$x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \ln(1+x) \sim e ^ x - 1 \tag{1.8}$

$(1 + x) ^ \alpha - 1\sim \alpha x \tag{1.9}$

$a^x - 1 \sim x\ln a \tag{1.10}$

$1 - \cos x \sim {1\over{2}} x ^ 2 \tag{1.11}$

$x - \ln(1+x) \sim {1\over{2}} x^2 \tag{1.12}$

$\tan x - x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.13}$

$x - \arctan x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.14}$

$x - sin x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.15}$

$\arcsin x - x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.16}$

• 證明（1.8-1.16） 常用的等價無窮小都可以用洛必達法則證明

• 推論

$1 - \cos^\alpha x \sim {\alpha\over{2}}x^2 \tag{1.17}$

• 證明（1.17）

${1 - [1 + (\cos x - 1)]^ \alpha} \sim \alpha(1 - \cos x) \sim {\alpha\over{2}}x^2$

3.3. 方法3 利用有理運算法則求極限

3.4. 方法4 利用洛必達法則求極限

• 使用條件
  • 若$f(x)n$階可導
  • 則洛必達法則可使用至求出$f^{(n-1)}(x)$，即$f(x)$的$n-1$階導數
  • 若$f(x)$有$n$階連續導數
    • 則洛必達法則可使用至求出$f^{(n)}(x)$，即$f(x)$的$n$階導數
  • 若$f(x)n$階可導，且求出$f^{(n-1)}(x)$後極限仍爲$\frac{0}{0}$型
    • 則考慮使用等價無窮小或導數定義

3.5. 方法5 利用泰勒公式求極限

• 定理（帶Peano餘項的泰勒公式） 設$f(x)$在$x = x_0$處$n$階可導，則

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{1.18}$

特別是當$x_0=0$時，爲麥克勞林公式

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{1.19}$

• 幾個常用的泰勒公式

$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + o(x^n) \tag{1.20}$

$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n-1}) \tag{1.21}$

$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n}) \tag{1.22}$

$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + o(x^{n}) \tag{1.23}$

$(1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + o(x^n) \tag{1.24}$

3.6. 方法6 利用夾逼原理求極限

• 常用結論

$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.25}$
其中$a_i > 0, (i = 1, 2, \cdots, m)$

• 證明公式1.25

令$max\{a_i\} = a$，則
$\sqrt[n]{a^n} < {\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} < \sqrt[n]{ma^n}$

$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a^n}}} = a$

$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{ma^n}}} = a$
根據夾逼準則
$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.26}$

3.7. 方法7 利用單調有界準則求極限

• 基本不等式

${2\over{{1\over{a}} + {1\over{b}}}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a ^ 2 + b ^ 2}{2}}$

3.8. 方法8 利用定積分定義求極限（見第五章）

---

4. 函數的連續性

4.1. 連續的定義

• 連續的定義

設$y=f(x)$在點$x_0$的某領域內有定義，若$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) = f(x_0)}$則稱$f(x)$在點$x_0$處連續。

• 左連續的定義

若$\lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} = f(x_0)$ ，則稱$ y = f(x) $在點$x_0$處左連續。

• 右連續的定義

若$\lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = f(x_0)$ ，則稱$ y = f(x) $在點$x_0$處右連續。

• 定理

函數$f(x)$在點$x_0$處連續的充要條件是$f(x)$在點$x_0$既左連續又右連續。

4.2. 間斷點的分類

• 第一類間斷點

  • 定義：左右極限都存在的間斷點成爲第一類間斷點
    • 可去間斷點
      • 定義：左右極限都存在且相等的間斷點成爲可去間斷點
    • 跳躍間斷點
      • 定義：左右極限都存在但不相等的間斷點成爲跳躍間斷點

• 第二類間斷點

  • 定義：左右極限至少有一個不存在的間斷點稱爲第二類間斷點

    • 無窮間斷點

      • 定義：若$\lim\limits_{x \to x_0^-} = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^+} = \infty$， 則稱$x_0$爲$f(x)$的無窮間斷點

    • 震盪間斷點

      • 定義：左右極限振盪不存在的間斷點，叫做振盪間斷點，其中振盪是不可以解出的答案，極限完全不存在，如$sin \frac{1}{x}$.

    • 其他

注：在答題時，一般來說，第一類間斷點需要說明是可去間斷點還是跳躍間斷點，如無特殊要求，第二類間斷點只需要聲明爲第二類間斷點。

4.3. 閉區間上連續函數的性質

• 最值定理
  • 設$f(x)$在閉區間$[a, b]$上連續，則$f(x)$在$[a, b]$上必有最大值與最小值
• 有界性定理
  • 設$f(x)$在閉區間$[a, b]$上連續，則在$[a, b]$上必有界
• 介值定理
  • 設$f(x)$在閉區間$[a, b]$上連續，且$f(a)\ne f(b)$，則對於任意介於$f(a)$和$f(b)$之間的數$C$，至少存在一點$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi) = C$.
  • 推論：若$f(x)$在閉區間$[a, b]$上連續，則$f(x)$在$[a, b]$上可取到介於最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之間的任何值
• 零點定理
  • 設$f(x)$在閉區間$[a, b]$上連續，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，則至少存在一點$\xi \in [a,b]$，使$f(\xi) = 0$.

---

5. 總結

1. 函數
   • 性質
   • 複合
2. 極限
   • 極限概念與性質
   • 求極限
   • 無窮小階的比較
3. 連續
   • 間斷點類型
   • 閉區間上連續函數的性質