洛必達法則 - 但是高中OIer並不覺得它很有用

約束條件下求函數極值

拉格朗日乘數法

已知$f(x,y)$，其中$x,y$滿足約束條件$ax+by+c=0$（這裏只是一個例子），求$f$的極值

構造$F(x,y)=f(x,y)+\lambda(ax+by+c)$

很明顯$F$與$f$性質相同
對$x,y,\lambda$分別求偏導數，發現$\frac{\partial F}{\partial \lambda}=0$

依據另外兩個偏導數，取極值，可以得到兩個方程，方程可解，極限可求

該方法適用於任意多元函數、任意條約束條件

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洛必達法則

感覺我在整理高考導數簡單方法。。。

洛必達其實是個商人（The merchats haggling over fish remind me I have what I wish. 'Cause I’m not alone anymore…awsl）

這條法則實際上是伯努利發明的，然後洛必達買了它的冠名權
這條事實告訴我們，名垂千古的方法有兩種：有腦子、有錢錢 😄 😛

具體內容：

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{f_1'(x)}{f_2'(x)}$

說明：
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_0}f_1(x)}{\lim_{x\rightarrow x_0}f_2(x)}=\frac{(x-x_0)f_1'(x)}{(x-x_0)f_2'(x)}=\frac{f_1'(x)}{f_2'(x)}$

舉個栗子：
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x)'}{(x)'}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}\ \ \ \ \$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\cos x\ \ \ \ \$

$=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

這篇博客的證明方式可能比我的更嚴謹