1. 背景
前段時間複習完了高數第四章的內容,我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理,形成了這篇筆記,方便在移動設備上進行訪問和後續的補充修改。
1. 不定積分的概念與性質
1.1. 不定積分
f(x)的原函數的全體成爲f(x)的不定積分,記爲∫f(x)dx.
如果F(x)爲f(x)的一個原函數,則有
∫f(x)dx=F(x)+C(4.1)
其中C爲任意常數
1.2. 原函數存在定理
若f(x)在區間I上連續,則f(x)在區間I上一定存在原函數
若f(x)在區間I上有第一類間斷點,則f(x)在區間I上沒有原函數
1.3. 不定積分的性質
(∫f(x)dx)′=f(x),d(∫f(x)dx)=f(x)dx(4.2)
∫f′(x)dx=f(x)+C,∫df(x)dx=f(x)+C(4.3)
∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx(4.4)
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,(k=C)(4.5)
2. 不定積分基本公式
∫0dx=C(4.6)
∫xadx=a+11xα+1+C,(α=−1)(4.7)
∫x1dx=ln∣x∣+C(4.8)
∫axdx=lnaax+C,(a>0,a=1)(4.9)
∫exdx=ex+C(4.10)
∫sinxdx=−cos(x)+C(4.11)
∫cos(x)dx=sin(x)+C(4.12)
∫sec2xdx=tan(x)+C(4.13)
∫csc2xdx=−ctgx+C(4.14)
∫secxtanxdx=secx+C(4.15)
∫cscxctgxdx=−cscx+C(4.16)
∫1−x21dx=arcsinx+C(4.17)
∫1−x21dx=∫a1−(ax)2dxdx=∫1−(ax)2d(ax)dx=arcsinx+C
∫1+x21dx=arctanx+C(4.18)
∫a2+x21dx=a1arctanax+C(4.19)
∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C(4.20)
∫x2+a21dx=ln(x+x2+a2)+C(4.21)
- 證明4.21: 第二類換元法,令x=atant
∫x2+a21dx=∫asectasec2tdt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣x+x2+a2∣−lna+C=ln∣x+x2+a2∣+C
∫x2−a21dx=ln∣x+x2−a2∣+C(4.22)
- 證明4.22: 第二類換元法,令x=asect
∫x2−a21dx=∫atantasecttantdt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣x+x2−a2∣−lna+C=ln∣x+x2−a2∣+C
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C(4.23)
∫secxdx=∫secx+tanxsecx[secx+tanx]dx=∫secx+tanxd(secx+tanx)=ln∣secx+tanx∣+C=∫secx+tanxsec2x+secxtanxdx
∫cscxdx=−ln∣cscx+ctgx∣+C(4.24)
∫cscxdx=∫cscx+ctgxcscx[cscx+ctgx]dx=∫cscx+ctgxd(cscx+ctgx)=ln∣cscx+ctgx∣+C=∫cscx+ctgxcsc2x+cscxctgxdx
3. 三種主要積分法
3.1. 第一換元積分法
- 定理 設∫f(u)du=F(u)+C, u=φ(x)存在連續導數,則
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφx=F(φ(x))+C(4.25)
3.2. 第二換元積分法
- 定理 設x=φ(x)是單調的、可導的函數,並且φ′(t)=0,又
∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(φ(t))+C
則
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(φ(t))+C=F[φ−1(x)]+C(4.26)
注:式中對φ(t)求導的部分容易被遺漏
-
被積函數含有a2−x2,令x=asinx(或acosx).
-
被積函數含有x2+a2,令x=atanx.
-
被積函數含有x2−a2,令x=asecx.
3.3. 分部積分法
∫udv=uv−∫vdu(4.27)
- 把多項式以外的函數湊進微分號,因爲對多項式求導若干次後能夠將其化爲常數項
∫pn(x)eαxdx,∫pn(x)sinαxdx,∫pn(x)cosαxdx
- 把指數函數或三角函數湊進微分號都可以,但把指數湊進去更簡單
∫eαxsinβxdx,∫eαxcosβx
- 把多項式湊進微分號,多項式以外的函數方便求導,不方便積分
∫pn(x)lnxdx,∫pn(x)arctanxdx,∫pn(x)arcsinxdx
4. 三類常見可積函數積分
4.1. 有理函數
- 有理函數積分 ∫R(x)dx
- 一般方法(部分分式法)
- 特殊方法(加項減項拆或湊微分降冪)
4.2. 三角有理式積分
- 三角有理式積分 ∫R(sinx,cosx)dx
- 一般方法(萬能代換)令tan2x=t.
∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t,1+t21−t2)dt(4.28)
- 特殊方法(三角變形,換元,分解)
- 若R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx),則令u=cosx,或湊dcosx.
- 若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),則令u=sinx,或湊dsinx.
- 若R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx),則令u=tanx,或湊dtanx.
4.3. 簡單無理函數積分
- 簡單無理函數積分 $
\int R(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}) dx$
令ncx+dax+b=t,將其轉化爲有理函數積分進行計算
5. 總結