2021考研數學 高數第二章 導數與微分

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1. 背景

前段時間複習完了高數第二章的內容，我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，方便在移動設備上進行訪問和後續的補充修改。

2. 導數與微分的概念

2.1. 導數與微分的概念

• 導數
  • 概念：函數在某一點的變化率
• 微分
  • 概念：函數值在某一點的改變量的近似值

2.2. 連續、可導、可微之間的關係

• 連續與可導

  • 連續不一定可導
  • 可導必定連續

• 連續與可微

  • 連續不一定可微
  • 可微必定連續

• 可導與可微(在一元函數中)

  • 可微必定可導
  • 可導必定可微
  • 可導是可微的充分必要條件

注：在多元函數中，可導（偏導）不一定可微，可導（偏導）也不一定連續

• 證明可導必可微

根據可導定義，令

$\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A$

則有

$\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x} = 0$

即有$\Delta y - A\Delta x = o(\Delta x)$，故$\Delta y = A\Delta + o(\Delta x)$，其中$A$爲常數，滿足可微的定義，因此，可導必可微。

• 證明可微必可導

根據可微定義

$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$

則

$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{A \Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x} = A$

導數存在，故滿足可導的定義，因此可微必可導，且$f'(x) = A$.

• 常見錯誤
  • $f(x)$在某鄰域可導
  • 不能推出$f'(x)$在$x_0$點連續
  • 不能推出$\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)$存在
  • 題型：第一章例$33$，考察洛必達法則的使用條件

2.3. 導數的幾何意義

導數$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y = f(x)$在點$(x_0, f(x_0))$處切線的斜率。

注：法線的斜率是切線斜率的負倒數。

2.4. 相關變化率

• 定義

設$x = x(t)$及$y = y(t)$都是可導函數，而變量$x$與$y$之間存在某種關係，從而他們的變化率$\dfrac{dx}{dt}$與$\dfrac{dy}{dt}$之間也存在一定關係，這樣兩個相互依賴的變化率成爲相關變化率

• 例題（第二章例$29$）

已知動點$P$在曲線$y = x^3$上運動，記座標原點與點$P$間的距離爲$l$。若點$P$的橫座標對時間的變化率爲常數$v_0$，則當點$P$運動到點$(1, 1)$時，$l$對時間的變化率是$\underline{\hspace*{1cm}}$.

解：

已知$\dfrac{dx}{dv} = v_0$，$l = \sqrt{x^2 + x^6}$，則

$\frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot v_0$

帶入數值$x = 1$，則

$\frac{dl}{dt} = \frac{1 + 3}{\sqrt{2}}v_0 = 2\sqrt{2} v_0$

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3. 導數公式及求導法則

3.1. 基本初等函數的導數公式

$(C)' = 0 \tag{2.1}$

$(x^a)' = ax^{a-1} \tag{2.2}$

$(a^x)' = a^x\ln(a) \tag{2.3}$

$(e^x)' = e^x \tag{2.4}$

$(\log_a^x)' = \frac{1}{x\ln(a)} \tag{2.5}$

$(\ln \mid x \mid )' = \frac{1}{x} \tag{2.6}$

$(\sin x)' = \cos(x) \tag{2.7}$

$(\cos x)' = -\sin(x) \tag{2.8}$

$(\tan x )' = \sec^2(x) \tag{2.9}$

$(\cot x)' = - \csc^2(x) \tag{2.10}$

$(\sec x)' = \sec (x) \tan (x) \tag{2.11}$

$(\csc x)' = \csc^2(x) \cot (x) \tag{2.12}$

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.13}$

$(\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.14}$

$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \tag{2.15}$

$(\arcctg x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.16}$

注：$\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$，$\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}$

3.2. 求導法則

3.2.1. 有理運算法則

設$u = u(x), v = v(x)$在$x$處可導，則

$(u \pm v)' = u' \pm v' \tag{2.17}$

$(uv)' = u'v + uv' \tag{2.18}$

$(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \tag{2.19}$

3.2.2. 複合函數求導法

設$u = \varphi(x)$在$x$處可導，$y = f(u)$在對應點可導，則複合函數$y = f[\varphi(x)]$在$x$處可導，則

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x) \tag{2.20}$

• 推論

一個可導的奇（偶）函數，求一次導，其奇偶性發生一次變化

• 證明推論

1. 若$f(x)$爲奇函數。

$f(x)$滿足$f(-x) = -f(x)$,又根據複合函數求導法則，得到$f'(-x) = -f'(x)$，則

$[f(-x)]' = -[-f(x)]' = [f(x)]'$

即$f'(x)$爲偶函數

2. 若$f(x)$爲偶函數。

$f(x)$滿足$f(-x) = f(x)$,又根據複合函數求導法則，得到$f'(-x) = -f'(x)$，則

$[f(-x)]' = -[f(x)]'$

即$f'(x)$爲奇函數

3.2.3. 隱函數求導法

設$y = y(x)$是由方程$F(x, y) = x$所確定的可導函數，爲求得$y'$，可在方程$F(x, y) = 0$兩邊對$x$求導，可得到一個含有$y'$的方程，從中解出$y'$即可。

注：$y'$也可由多元函數微分法中的隱函數求導公式2.21得到。

$\frac{dy}{dx} = - \frac{F'_x}{F'_y} \tag{2.21}$

3.2.4. 反函數的導數

若$y = f(x)$在某區間內可導，且$f'(x) \ne 0$，則其反函數$x = \varphi (x)$在對應區間內也可導，且

$\varphi (y) = \frac{1}{f'(x)} \tag{2.22}$

即

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$

3.2.5. 參數方程求導法

設$y = y(x)$是由參數方程

${\left\{ \begin{aligned} &x = \varphi (x)\\ &y = \psi (x)\\ \end{aligned}\right. }, (\alpha < t < \beta)$

確定的函數，則

1. 若$\varphi (x)$和$\psi (x)$都可導，且$\varphi(t) \ne 0$，則

$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} \tag{2.23}$

2. 若$\varphi (x)$和$\psi (x)$都二階可導，且$\varphi(t) \ne 0$，則

$\frac{d^2 y}{d^2 x} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}= \frac{d}{dt}(\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}) \cdot \frac{1}{\varphi '(x)} = \frac{\psi ''(t)\varphi '(x) - \varphi ''(x) \psi '(t)}{\varphi^3 (t)} \tag{2.24}$

3.2.5.1. 極座標方程轉化爲參數方程形式

極座標性質

${\left\{ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \theta &= \frac{y}{x} (x \ne 0)\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.25}$

極座標轉化爲直角座標的轉化公式

${\left\{ \begin{aligned} x = \rho \sin \theta\\ y = \rho \cos \theta\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.26}$

已知經過點$M(\rho_o, \theta_0)$，且直線與極軸所成角爲$\alpha$的直線$l$，其極座標方程爲

$\rho \sin (\alpha - \theta) = \rho_0 \sin(\alpha_0 - \theta_0)$

即

$\rho = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0)$

轉化爲參數方程形式

${\left\{ \begin{aligned} x = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \sin(\theta)\\ y = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \cos(\theta)\\ \end{aligned} \right.}$

3.2.6. 對數求導法

如果$y = y(x)$的表達式由多個因式的乘除、乘冪構成，或是冪指函數的形式，則可先將函數去對數，然後兩邊對$x$求導。

注：對等式兩邊取對數，需要滿足等式兩邊都大於0的條件

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4. 高階導數

4.1. 高階導數的定義

含義：一般地，函數$y = f(x)$的$n$階導數爲$y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]'$，也可記爲$f^{(n)}(x)$或$\dfrac{d^ny}{dx^n}$，即$n$階導數就是$n-1$階導函數的導數。

注：如果函數在點$x$處$n$階可導，則在點$x$的某鄰域內$f(x)$必定具有一切低於$n$階的導數。

4.2. 常用的高階導數公式

$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.27}$

$(cos x)^{(n)} = \cos (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.28}$

$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \tag{2.29}$

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \tag{2.30}$

式2.24可類比$n$階二項式公式

$(u + v)^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{k}v^{n-k} \tag{2.31}$

• 推論

若$y= \sin(ax + b)$，則
$y^{(n)} = a^n \sin(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.32}$

• 證明

通過歸納法，求$y'$和$y''$，推出$y^{(n)}$.

4.3. 求高階導數的方法

1. 公式法，帶入高階導數公式
2. 歸納法，求$y'$，$y''$，歸納$y^{(n)}$

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5. 總結

1. 導數
   • 定義
   • 求導法則
   • 高階導數
2. 微分
   • 定義
   • 微分與可導的關係
   • 微分方程求導