2021考研數學 高數第六章 定積分的應用

1. 背景

前段時間複習完了高數第六章的內容，我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，方便在移動設備上進行訪問和後續的補充修改。

2. 幾何應用

2.1. 平面圖形的面積

可通過二重積分 $S = \iint_D 1 d \sigma$ 進行計算。

1. 若平面域 $D$ 由曲線 $y = f(x), y=g(x), (f(x) \ge g(x)), x = a, x = b, )a < b)$ 所圍成，則平面域 $D$ 的面積爲

$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$

2. 若平面域 $D$ 由曲線 $\rho = \rho(\theta), \theta = \alpha, \theta = \beta(\alpha < \beta)$ 所圍成，則其面積爲

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2(\theta) d\theta$

2.2. 旋轉體體積

可通過二重積分 $V = 2\pi \iint_D y d \sigma$ 和 $V = 2\pi \iint_D x d \sigma$ 進行計算。

若區域 $D$ 由 $y = f(x), (f(x) \ge 0)$ 和直線 $x = a, x = b, (0 \le a \le b)$ 及 $x$ 軸所圍成的，則

1. 區域 $D$ 繞 $x$ 軸旋轉一週所得到的旋轉體體積爲

$V_x = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$

2. 區域 $D$ 繞 $y$ 軸旋轉一週所得到的旋轉體體積爲

$V_y = 2\pi \int_{a}^{b} xf(x) dx$

3. 曲線弧長

• $C: y = y(x), a \le x \le b$

$s = \int_{a}^{b} \sqrt[]{1 + y'^2} dx$

• $C: {\left\{ \begin{aligned} x = x(t) &\\ y = y(t) & \\ \end{aligned}\right. }, \alpha \le t \le \beta$

$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt[]{x'^2 + y'^2} dt$

• $C: \rho = \rho(\theta), \alpha \le \theta \le \beta$

$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt[]{\rho^2 + \rho'^2} d\theta$

2.3. 旋轉體側面積

曲線 $y = f(x), (f(x) \ge 0)$ 和 直線 $x = a, x = b, (0 \le a \le b)$ 及 $x$ 軸所圍成區域繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉體的側面積爲

$S = 2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt[]{1 + f'^2(x)} dx$

3. 物理應用

1. 壓力
2. 變力做功
3. 引力