2021考研數學 高數第三章 微分中值定理及導數應用

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1. 背景

前段時間複習完了高數第三章的內容，我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，方便在移動設備上進行訪問和後續的補充修改。

2. 微分中值定理

2.1. 費馬引理

設函數$f(x)$在點$x_0$處可導，如果函數$f(x)$在點$x_0$處取得極值，那麼$f(x_0) = 0$.

2.2. 羅爾定理

如果$f(x)$滿足以下條件

1. 在閉區間$[a, b]$上連續
2. 在開區間$(a, b)$內可導
3. $f(a) = f(b)$,

則在$(a, b)$內至少存在一點$\xi$，使得$f(\xi) \equiv 0$.

$\text{圖1 羅爾定理}$

2.3. 拉格朗日中值定理

• 定義

如果$f(x)$滿足以下條件

1. 在閉區間$[a, b]$上連續
2. 在開區間$(a, b)$內可導，

則在$(a, b)$內至少存在一點$\xi$，使得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \tag{3.1}$

$\text{圖2 拉格朗日中值定理}$

• 證明

已知函數在閉區間$[a, b]$上連續，在開區間$(a, b)$內可導，構造輔助函數

$y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

可得$g(a) = g(b)$，又因爲$g(x)$在$[a, b]$上連續，在開區間$(a, b)$內可導，所以根據羅爾定理可得必有一點$\xi \in (a, b)$，使得$g'(\xi) = 0$，由此可得

$g'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b)-f(a)}{(b-a)} = 0$

變形得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

定理證畢。

2.4. 柯西中值定理

• 定義

如果$f(x), F(x)$滿足以下條件

1. 在閉區間$[a, b]$上連續
2. 在開區間$(a, b)$內可導，且$F'(x)$在$(a, b)$內每一點均不爲零，則在$(a, b)$內至少存在一點$\xi$使得

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} \tag{3.2}$

$\text{圖3 柯西中值定理}$

• 證明

要證明

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$

可轉換爲證明

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$

構造函數

$\varphi(x) = [f(b) - f(a)][F(x) - F(a)] - [F(b) - F(a)][f(x) - f(a)]$

$\varphi(x)$在$[a, b]$上連續，在開區間$(a, b)$內可導，且$\varphi(a) = \varphi(b) = 0$，由羅爾定理可知，存在$\xi \in (a, b)$，使得$\varphi'(\xi) = 0$，由此可得

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$

定理證畢。

2.5. 皮亞諾型餘項泰勒公式

如果$f(x)$在點$x_0$有至$n$階的導數，則有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{3.3}$

常稱$R_0 = o(x - x_0)^n$爲皮亞諾餘項，若$x_0 = 0$，則得麥克勞林公式

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{3.4}$

2.6. 拉格朗日型餘項泰勒公式

設$f(x)$在點$x_0$有至$n + 1$階的導數，則當$x \in (a, b)$時有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + R_n(x) \tag{3.5}$

其中$R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，這裏$\xi$介於$x_0$與$x$之間，稱爲拉格朗日餘項。

2.7. 幾個常用的泰勒公式（拉格朗日餘項）

$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + \frac{e^{\theta x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \tag{3.6}$

$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} \tag{3.7}$

$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 2)!}x^{2n + 2} \tag{3.8}$

$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + (-1)^{n} \frac{x^{(n + 1)}}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} \tag{3.9}$

$\begin{aligned} (1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + \\ \frac{[\alpha!/(\alpha - n - 1)!]}{(n + 1)!}(1 + \theta x) ^ {\alpha - n - 1}x^{n + 1} \tag{3.10} \end{aligned}$

2.8. 不等式的證明

• 基本不等式

$\sin(x) < x < \tan(x), x\in (0, \frac{\pi}{2}) \tag{3.11}$

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x, x\in (0, +\infty) \tag{3.12}$

• 證明方法

1. 單調性

要證明不等式$f(x) \ge g(x)$，在$x \in [a, b]$區間恆成立，可轉換爲

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0 \tag{3.13}$

即證明在$[a, b]$區間內

$F'(x) > 0, F(a) \le 0 \tag{3.14}$

可總結爲通過證明構造出的函數$F(x)$在閉區間內單調，且在端點值滿足條件，從而證明不等式。

2. 拉格朗日中值定理

要證明不等式

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) <x, (x > 0)$

步驟如下：

令$f(x) = ln(x)$，$f(x)$滿足在$[1, 1+x]$上連續，在$(1, 1+x)$內可導，則在$(1, 1+x)$內至少存在一點$\xi$，使得

$\ln(1 + x) = \ln(1 + x) - \ln(1) = (1 + x - 1)f'(\xi) = \frac{x}{\xi}$

又因爲$1 < \xi < (1 + x)$，帶入端點值則不等式得證。可總結爲通過使用拉格朗日中值定理構造的函數

${(b - a)}f'(a) \le {(b - a)}f'(\xi) = {f(b)- f(a)} \le {(b - a)}f'(b)$

在端點值滿足條件，從而證明不等式。

3. 最大最小值

要證明不等式$f(x) \ge g(x)$，在$x \in [a, b]$區間恆成立，可轉換爲

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0$

即證明在$[a, b]$區間內有一點$x_0$滿足

$F'(x_0) = 0, \lim\limits_{x \to -x_0}{f(x)} \cdot \lim\limits_{x \to +x_0}{f(x)} < 0$

即$x_0$點爲$[a, b]$區間內的極值點，並證明$x_0$點的值小於其他極小值點和端點值，即$x_0$點爲最小值點。同時

$f(x_0) \ge 0$

則不等式得證。可總結爲通過證明最值點滿足條件，從而證明不等式。

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3. 導數應用

3.1. 函數的單調性

定理 設$f(x)$在$[a, b]$上連續，在$(a, b)$內可導。

1. 若在$(a, b)$內$f'(x)>0$，則$f(x)$在$[a, b]$上單調遞增
2. 若在$(a, b)$內$f'(x)<0$，則$f(x)$在$[a, b]$上單調遞減

3.2. 函數的極值

3.3. 函數的最大值和最小值

3.4. 曲線的凹凸性

定義 設函數$f(x)$ 在區間 $I$ 上連續，如果對 $I$ 上任意兩點 $x_1, x_2$，恆有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

則稱$f(x)$ 在$I$ 上的圖形是凹的。如果恆有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

則稱$f(x)$ 在$I$ 上的圖形是凸的。

3.5. 曲線的漸近線

3.5.1. 漸近線的定義

• 漸近線
  • 若點$M$沿曲線$y = f(x)$無限遠離原點時，它與某條直線$L$之間的距離將趨近於零，則稱直線$L$爲曲線$y = f(x)$的一條漸近線。
• 水平漸近線
  • 若直線$L$於$x$軸平行，則稱$L$爲曲線$y= f(x)$的水平漸近線；
• 垂直漸近線
  • 若直線$L$於$x$軸垂直，則稱$L$爲曲線$y = f(x)$的垂直漸近線；
• 斜漸近線
  • 若曲線即不平行於$x$軸，也不垂直於$y$軸，則稱直線$L$爲曲線$y = f(x)$的斜漸近線。

3.5.2. 漸近線的求解

• 水平漸近線
  • 若$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$，那麼$y = A$是曲線$y = f(x)$的水平漸近線
    • 或$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$.
    • 或$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$.
  • 最多兩條
• 垂直漸近線
  • 若$\lim\limits_{x \to x_0s} f(x) = \infty$，那麼$x = x_0$是曲線$y = f(x)$的水平漸近線
    • 或$\lim\limits_{x \to - x_0} f(x) = A$.
    • 或$\lim\limits_{x \to + x_0} f(x) = A$.
  • 最多無窮條
• 斜漸近線
  • 若$\lim\limits_{x \to x_0s} \dfrac{f(x)}{x} = a$，且$\lim\limits_{x \to \infty }(f(x) - ax) = b$，那麼$x = x_0$是曲線$y = f(x)$的水平漸近線
    • 或$\lim\limits_{x \to - \infty }(f(x) - ax) = b$.
    • 或$\lim\limits_{x \to + \infty }(f(x) - ax) = b$.
  • 最多兩條，某方向若有水平漸近線，則無斜漸近線，若有斜漸近線，則無水平漸近線。
  • 若一個曲線方程可以寫爲$y = ax + b + \alpha(x)$，其中$\alpha(x)$在$x \to \infty$時爲無窮小，則有斜漸近線$y = ax + b$.

3.6. 函數的作圖

利用函數的單調性、極值、曲線的凹凸性、拐點及漸近線可以作出函數曲線。

• 步驟

1. 求定義域，判斷是否有無定義點
2. 求$y'$，判斷單調性和極值
3. 求$y''$，判斷曲線的凹凸性
4. 求極限，判斷漸近線
5. 作圖

3.7. 曲線的弧微分與曲率

• 弧微分
  • 定義：設$y = f(x)$在$(a, b)$內有連續導數，則有弧微分

$ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx \tag{3.15}$

• 曲率
  • 定義：設$y = f(x)$有二階導數，則有曲率

$K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} \tag{3.16}$

• 曲率半徑

  • 定義：稱$\rho = \dfrac{1}{K}$爲曲率半徑

• 曲率圓

  • 定義：若曲線$y = f(x)$在點$M(x, y)$處的曲率爲$K(K \ne 0)$，在這點$M$處曲線的法線上，在曲線凹的一側取一點$D$，使$|DM| = \dfrac{1}{K} = \rho$，以$D$爲圓心，$\rho$爲半徑的圓成爲曲線在點$M$的曲率圓。

• 曲率中心

  • 定義：曲率圓的圓心$D$，稱爲曲線在點$M$處的曲率中心。

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4. 總結

1. 微分中值定理

   • 羅爾定理
   • 拉格朗日中值定理
   • 柯西中值定理
   • 泰勒公式

2. 導數應用

   • 函數的單調性
   • 函數的極值、最值
   • 曲線的凹凸性和漸近線
   • 弧微分與曲率