[組合數學] T3 卡特蘭數

T3 / 卡特蘭數

學習一下卡特蘭數

卡特蘭數實際上就是一大類問題劃歸得到的一個結論
其通式：
$H_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}\ (n\geq 2,n\in N^*)$
遞推式：
$H_n=\left\{ \begin{aligned} &1&&n=0,1\\ &\sum_{i=0}^{n-1}H_{i}H_{n-i-1} &&n\geq 2,n\in N_+\\ \end{aligned} \right.$
下式還可寫作$\sum_{i=1}^nH_{i-1}H_{n-i}$，總之兩下標和爲$n-1$的兩數捲起來

數列前幾項：
$H_n=1,1,2,5,14,42,\cdots$

兩式互相轉化不易證，咕

一些例子

非降路徑計數

求從原點走到在平面直角座標系上的$y=x$直線上的整點的方案數，且只能向上或向右走

打表發現數列符合$1,1,2,5,\cdots$，於是卡特蘭

棧

入棧順序由1到n，求所有可能的出棧順序的總數

法一：打表觀察，發現數列符合$1,1,2,5,\cdots$
法二：考慮$n$入棧的時機，前$n-1$個數出棧$i,i\in [0,n-1]$個後進入，那麼已出棧數列的方案數爲$a_i$，加入$n$後數列的出棧方案數爲$a_{n-i-1}$，由於前$n-1$個數隨意組合，考慮乘法原理：
$a_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}a_{n-i-1}$
故爲卡特蘭數列

二叉樹計數

求有$n$個節點的（無標號）二叉樹的種數

對於有$n$個節點的（無標號）二叉樹，考慮一個根節點，左兒子有$i,i\in[0,n-1]$個節點，右兒子則有$n-i-1$個節點，考慮乘法原理：
$S_n=\sum_{i=0}^{n-1}S_iS_{n-i-1}$
故爲卡特蘭數列

T3 概率論

對於一棵隨機生成的$n$個結點的有根二叉樹(所有互相不同構的形態等概率出現),它的葉子節點數的期望是多少呢?

考慮樹個數，由上文知爲卡特蘭數列，樹個數記爲$f_i$
記樹葉子節點數爲$g_i$

考慮$n$個結點的二叉樹的得到：由$n-1$個結點的二叉樹加上一個葉子節點得來
不同的$n-1$二叉樹上加的葉子節點是不一樣的，如：

所以$g_i=nf_{i-1}$

於是期望：
$\begin{aligned} E&=\frac{g_i}{f_i}\\ &=\frac{nf_{i-1}}{f_i}\\ &=\frac{n\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{n}}{\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}}\\ &=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)} \end{aligned}$

Prod概率論

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	double n;
	scanf("%lf",&n);
	n=n*(n+1)/(2*(2*n-1));
	printf("%.9lf",n);
	return 0;
}