洛谷P1044 棧 淺談卡特蘭數

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洛谷P1044 棧

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標籤

• 卡特蘭數

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前言

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簡明題意

• 最經典的卡特蘭數引入場景。給一個序列，每次可以從序列的頭部入棧，或者從棧中彈出元素插入到序列的尾部，問有多少種出棧順序

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思路

• 首先複習一下卡特蘭數。卡特蘭數19不爆int，35不爆longlong。其次是卡特蘭數的計算方法，$s(0)=1$第一個遞推式$s(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}s(i)*s(n-1-i)$，複雜度$n^2$。第二個是通項$s(n)=\frac{2n!}{n!(n+1)!}$，階乘20不爆longlong，12不爆int，因此用通項法最多隻能求到s(10).
• 然後講一講卡特蘭數到底怎麼推的。假設有n個數進行進出棧操作，那麼我們知道這n個數有2n個進出棧次序（因爲每個數都要進一次棧又要出一次棧）。現在設入棧爲+1，出棧爲-1，顯然我們要從我們要從2n中選出n個+1，其餘的地方填-1就行了，所以就有$C_{2n}^n$種填法。那麼答案就是$C_{2n}^n$嗎？其實不是的，看這樣一個序列：-1 -1 -1 1 1 1，顯然一開始棧裏都沒有元素怎麼出棧呢？所以我們需要保證選出來的序列，對於任意k<=n，有$\sum_{i=1}^k>=0$，這樣的序列纔是符合要求的。所以現在求一下不符合要求的序列，也就是求$\sum_{i=1}^k<0$的數量。我們這樣考慮，對於一個不符合要求的序列例如+1 -1 -1 +1，我們從第一個元素開始直到第一次不符合要求的那個元素結束，將這些元素取相反數，這個例子中取了相反數就是-1 +1 +1 +1，現在令不符合要求的序列集合爲M，取反後的序列集合爲N，我們可以知道N到M是一一映射的，也就是說，集合M的大小（不符合要求的數量）等於集合N的大小，而集合N，是由n+1個+1和n-1個-1組成的，那麼，集合N的大小等於$C_{2n}^{n-1}$，也就是不符合要求的序列數量是$C_{2n}^{n-1}$，而總的數量是$C_{2n}^n$，所以符合要求的數量是：$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
• 然後我們可以更深一步，探討一下卡特蘭數的變形。回憶之前的情形，+1和-1的數量是相等的，下一種情形，+1和-1的數量不相等。我們簡化一下題目，就不引入情景了。現在有n個+1，m個-1，要使得前綴和永遠>=0，問有多少種排列方法。這就需要引入集合方法，我們建立一個n*m的表格
  
  +1往右，-1往上，那麼爲了滿足要求，-1的數量在任意時刻不能多餘+1的數量，也就是往上的線不能超過中線。我們先舉一個犯規的例子：
  我們仍然建立一個像普通卡特蘭數的映射，將第一次超過中線的數以及之前的所有取反，然後將剩餘的平移過來：
  
  我們發現，又和卡特蘭數的普通情形一樣了，+1多了一次選擇，-1少了一次選擇，於是犯規的數目就是$C_{n+m}^{n-1}$，所以符合要求的數目是：$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n-1}$.而這種變式的一個經典問題是硬幣找零問題，又n個人有100元，m個人有50元，他們排隊去買東西，而賣家沒有硬幣找零，只能用收的錢找零，問有多少種方案可以使得賣家正常收款。我認爲，100和50其實是一一對應的關係，也就是+1和-1的關係，那麼是不是還可以這樣變式呢？給定n個+2和m個-1，問有多少種排列方法使得前綴和恆>=0?處理方法其實和上面的類似。
• 再看下一個問題，圓內連弦問題。在一個圓上取2n個點，連出n條弦，問使得這n條弦互不相交的方案數。爲了解決這個問題，我們先引入一個較爲簡單的例子，現在有n個+1 n個-1，需要將他們排列在圓上，使得順時針相加起來任意時刻和都>=0，問有多少種排列方法。這其實和序列上的問題沒什麼區別。那麼現在在符合剛剛要求的排列上，直接將相鄰的+1和-1連起來（連好後兩側的就相鄰），發現剛好是所有弦不相交的。所以連弦問題顯然就是卡特蘭數。
• 最後還有一個叫卡特蘭問題，實際上就是凸多邊形的剖分，n邊形用n-3條邊分成三角形的方案數就是卡特蘭數。爲了證明這個，需要兩條引理，1.n對括號組成的合法方案數是C(n) 2.n個數連乘的順序有C(n-1)種。括號的很顯然，而第二條引理，實際上是和括號問題建立了一個一一映射的關係，從而得出了結論。具體是n個數，那麼取n-1對括號，對於每一種合法的括號方案，我們設置一個指針指向n個數中的第一個元素，然後順序考慮我們的合法括號序列，遇到左括號，則指針右移一位，遇到右括號，則指針指向的數與其左邊一個數乘起來，將乘出來的結果看成一個數，然後進行完這個過程，所以每種連乘方案和合法括號序列又建立了映射，因此n個數的連乘方案是C(n-1)。而卡特蘭問題就使用了這兩個引理。感興趣的朋友可以參考卡特蘭數 — 計數的映射方法的偉大勝利

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注意事項

• 無

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總結

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AC代碼

#include<cstdio>
#include<string>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 300 + 10;
const int dir[8][2] = { 1, 2, 1, -2, -1, 2, -1, -2, 2, 1, 2, -1, -2, 1, -2, -1 };

void solve()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	long long dp[100] = { 0 };
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= i - 1; j++)
			dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
		
	}

	printf("%lld\n", dp[n]);
}

void test()
{

}

int main()
{
	freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	//test();
	return 0;
}