洛谷P4139 上帝與集合的正確用法 歐拉定理

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洛谷P4139 上帝與集合的正確用法

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• 歐拉定理

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前言

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簡明題意

• 求$2^{2^{2...}}\%p$
• 其中2表示無限次冪。p<=1e7

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思路

• 無限次冪這裏是不是有點不清楚？
• 我們設$f(p)$表示2的無限次冪模p的結果.由歐拉定理，我們可以把原式寫成：
  $2^{f(phi(p))+p}\%p$
• 所以上式就是一個遞歸式了，遞歸的終止條件是：f(1)=0，然後線性篩一下phi[]，直接遞歸就可以了。

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注意事項

• 無

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總結

• 回顧一下歐拉定理：
  $a^b=\left\{\begin{matrix} a^{b\bmod\varphi(p)} &amp; (a,p)=1\\ a^b &amp; (a,p)\not=1,b&lt;\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)} &amp; (a,p)\not=1,b\geq\varphi(p) \end{matrix}\right.\pmod p$
  一定要注意使用的條件

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AC代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1e7 + 10;

int a, b, m;

int ksm(int a, int b, int mod)
{
	int ans = 1, base = a;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = 1ll * ans * base % mod;
		base = 1ll * base * base % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

bool no_prime[maxn];
int prime[(int)7e5], phi[maxn];
long long pre[maxn];
int shai(int n)
{
	int cnt = 0;
	phi[1] = 1;

	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!no_prime[i])
			prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;

		for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++)
		{
			no_prime[prime[j] * i] = 1;
			phi[prime[j] * i] = (i % prime[j] == 0) ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}

	return cnt;
}

int f(int p)
{
	if (p == 1) return 0;
	return ksm(2, f(phi[p]) + phi[p], p);
}

void solve()
{
	shai(maxn - 10);

	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		int p;
		scanf("%d", &p);

		printf("%d\n", f(p));
	}
}

int main()
{
	freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}