一篇文章弄懂變壓器的等效原理

變壓器

變壓器的目的是轉換電壓的大小,實現升壓或者降壓的目的.而我們看到下圖,通常變壓器不止一條迴路,單相變壓器有兩條迴路,三相變壓器則有6條迴路.

那我們通常希望在輸入端的一條或者幾條迴路中,就可以計算各種各樣的參數,例如輸入端的電流或者變壓器消耗的電壓,功率等等.

高中部分變壓器的等效電路

在高中部分的計算中,通常不會考慮變壓器中線圈的電感因素和電阻,因此,這一部分等效電路,忽略電感,忽略變壓器的電阻電感以及繞組的電感電阻.將上述實物圖轉化爲我們更爲熟悉的電路圖如下;

(圖1)

雖然熟悉.但是上圖有兩條迴路,還是爲我們分析上面這一電路圖帶來一些困難,我們希望更爲直觀,將其變爲最簡單的電路圖如下.

(圖2) 首先,兩圖中相同的符號表示相同的物理數值,從圖1中,我們有如下公式;

$n_1U_1=n_2U_2 \\ U_1I_1=U_2I_2 \\ R_2=\frac{U_2}{I_2}$
而在圖2中,我們有如下公式;
$R_2'=\frac{U_1}{I_1}$
而我們希望將$R_2'$的計算式變爲一系列常數,因此,更具上述4個式子,我們可以得到;
$U_1=\frac{n_2}{n_1}U_2 \\ I_1=\frac{n_1}{n_2}I_2$
最後,
$R_2'=\frac{U_1}{I_1}=\frac{n_2^2U_2}{n_1^2I_2}=\frac{n_2^2}{n_1^2}R_2=k^2R_2$
其中,$k$稱之爲變比,是一個常數。
由此,圖2電路中所有的未知參數都得到了,可以進行正常的電路計算了。

大學部分的等效電路

那麼,在高中部分,我們忽略了變壓器的感抗和阻抗,忽略了線圈的感抗。那麼，還是這張圖，我們分析，左右兩端是一個獨立的迴路，而聯接兩個迴路的只有磁路，因此我們首先要從磁路部分開始分析，以得到兩個迴路之間某些參數的關係式，然後根據關係式，建立一個目標等效電路。

圖3

首先,我們分析初始狀態;
初始狀態下,變壓器二次側無負載,則一次側產生空載電流$I_0sin(wt)$,而空載電流是一個交流電,因此在一次側線圈中會產生交流磁場產生主磁通$\dot{\varPhi _m}=\varPhi _0sin(wt)$,而在二次側線圈中由磁通量在不斷的變化,導致二次側線圈中產生感應電動勢,但是二次側並未接上負載產生迴路,因此,沒有辦法產生感應電流,既然二次側沒有電流,自然也就無法產生磁場。然而,在變壓器的鐵芯中,由於有不斷變化的磁場,鐵芯內部會產生渦旋電流,進而產生熱量導致能量消耗.而這裏的熱量等效到電路上,就是變壓器的等效電阻$R_m$產生的熱量消耗.然而不得不提的是,變壓器除了會產生熱量消耗,還會造成電壓超前電流的效果,等效來看,就是變壓器會給一次側產生一個等效電感$Z_m$。
變化後的末狀態,在二次側接入固定數值的負載電阻;
中間的變化狀態;
當負載端接入時,感應電動勢產生感應電流$I_2$,由感應電流$I_2$又產生感應磁通$\varPhi _2sin(wt)$進而導致變壓器鐵芯中的主磁通的幅值發生改變變化$\dot{\varPhi _m}=(\varPhi _0- \varPhi _2)sin(wt)$。接下來，由於主磁通的幅值變小，導致一次側產生的感應電動勢$U_1$降低,一次側的電阻所分擔的電壓上升,電流由空載電流$I_0$變大爲$I_1$。那麼$I_1$又會導致主磁通的幅值變大,導致二次側的感應電壓變大,進而導致二次側的電流變大。
那麼根據上述的闡述，一次側和二次側的電流和感應電動勢都在相互競爭着變大，然而無論哪一邊產生的磁通導致主磁通比初始狀態的主磁通大或者小，都會引來相應的變化，那麼，平衡狀態，就是最終左右兩側的電流，產生的磁通之和等於初始狀態時的主磁通（即空載電流產生的磁通）。

用公式來表示這一個平衡狀態；
$F_0=F_1-F_2$
即;
$I_0n_1=I_1n_1-I_2n_2$
進一步轉換;
$I_0=I_1-\frac{n_2}{n_1}I_2=I_1-I_2'$
$I_2'$爲等效爲一次繞組側的電流。
那麼我們發現，這是一個電流分支的式子，即，$I_1$爲幹路電流,$I_0$和$I_2'$爲支路電流。那麼可以等效成如下電路圖。

圖4

其實，右側的負載電阻以及二次繞組電阻的等效變換都如同高中部分所學的一樣，並未改變。額外添加的感抗也如同電阻等效變換一樣。
只是電路額外添加了一條支路，內部$R_m'$是由變壓器內部鐵芯能量損耗所等效的電阻,而$X_m'$是變壓器電流滯後效應等效而來的感抗。那麼,下面直接給出各參數的計算公式;
$R_2'=k^2R_2 \\ X_2'=k^2X_2 \\ R_L'=k^2R_L \\ R_m=\frac{P_{Fe}}{I_0^2}$
其中,$P_{Fe}$表示空載鐵芯損耗。
最後一個參數，$X_m$暫時沒有直接的計算方法,應該由題目給出的初始條件計算得出。