如何繪製廣義根軌跡的理論講解

參數根軌跡繪製方法

什麼叫做參數根軌跡呢?指的是除 K* 之外其他參數變化時系統的根軌跡。例如；我們要在如下系統開環傳遞函數中a=0→∞ 變化，繪製其根軌跡；

(圖1)

那麼我們都知道，之前所有的根軌跡繪製方法，只有在$k^*$傳遞函數的情況下才能使用。如今，雖然參數不再是
$k^*$了，但是如果我們要想辦法將這個傳遞函數化成$k^*$的傳遞函數，按理來說，還能使用之前的規則。

等效開環傳遞函數

由於，傳遞函數的根軌跡是由特徵方程求出的，那麼我們只要保證特徵方程不變，就可以找到等效的開環傳遞函數。但是，此等效傳遞函數也只能求解繪製根軌跡方程，而不能求解其他問題。
因此，我們首先寫出其特徵方程爲；
$D(S)=S^3+S^2+\frac {1}{4}S+\frac {1}{4}a=0$
我們構造——等效開環傳遞函數爲；

$G^{'}(s)=\frac {a/4}{s^3+s^2+s/4}=\frac {a/4}{s(s+0.5)^2}$
將$a/4$等效成爲$k^*$，利用根軌跡繪製法則我們得到如下信息；

1. 實軸根軌跡：[-∞,0]
2. 漸近線：$\sigma_n =-1/3 \ \ \ \ \varphi _a=\pm 60\degree,180\degree$
3. 分離點：$\frac {1}{d} + \frac {2}{d+0.5} = 0$
   解得： $d=-\frac {1}{6} \ \ \ \ \ a_d=4\left| d\right|\left| d+0.5\right|^2=\frac{2}{27}$
4. 與虛軸交點：$D(\omega j)=-\omega ^2+\frac {a}{4}+(-\omega ^3+\frac {1}{4}\omega )j=0$
   解得：$\left\{ \begin{array}{c} \omega =\frac{1}{2}\\ a=1\\ \end{array} \right.$
   最後繪製出根軌跡圖像。
   

零度根軌跡

零度根軌跡指的是系統處於正反饋時的根軌跡
如下

寫出開環傳遞函數;
$G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{K^{*}(s-z_1)...(s-z_m)}{(s-p_1)...(s-p_n)}$
那麼正反饋條件下,閉環傳遞函數與開環傳遞函數之間的關係爲;
$\Phi (s)=\frac {G(s)}{1-G\left( s \right) H\left( s \right) }$
因此,特徵方程爲;
$G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{K^*\left( s-z_1 \right) ...\left( s-z_m \right)}{\left( s-p_1 \right) ...\left( s-p_n \right)}=1$
對上述複數方程取模,則得到模值條件;
$|G\left( s \right) H\left( s \right) |=\frac{K^*\left| s-z_1 \right|...\left| s-z_m \right|}{\left| s-p_1 \right|...\left| s-p_n \right|}=K^*\frac{\prod_{i=1}^m{|\left( s-z_i \right) |}}{\prod_{j=1}^n{|(s-p_j)|}}=1$
將複數方程區相角,則可得到相角條件;
$\angle G\left( s \right) H\left( s \right) =\sum_{i=1}^m{\angle \left( s-z_i \right)}-\sum_{j=1}^n{\angle \left( s-p_j \right)}=2k\pi$
那麼我們發現,根軌跡中的模值條件未發生改變,但是相角條件由$(2k+1)\pi$變成了$2k\pi$,因此根軌跡中8條法則中凡是跟相角條件有關的法則都要發生變化,其中有3條要發生變化.

1. 實軸上的根軌跡變化爲；從最右端開始偶數到單數之間是根軌跡。
2. 漸近線變化爲；
   漸近線角度變化爲$\varphi _a=\frac {2k\pi }{n-m}$
   漸近線焦點不變，依舊是；
   $\sigma _a = \frac {\sum_{i=1}^n{p_i}-\sum_{j=1}^m{z_i}}{n-m}$
   3.出射角/入射角變爲；
   $\sum_{i=1}^n{\angle (s-p_i)}-\sum_{j=1}^m{\angle (s-z_j)}=2k\pi$

到此呢，廣義根軌跡就結束了。
最後再總結一下吧。

• 參數根軌跡的要點是找到等效傳遞函數來繪製根軌跡。
• 零度根軌跡要注意8條法則中有3條要發生變化，其他的均不發生變化。