2020美賽F獎論文（二）：傳球網絡模型（PNM）的建立和影響因子分析

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• 2020美賽F獎論文（一）：摘要、緒論和模型準備
• 2020美賽F獎論文（二）：傳球網絡模型（PNM）的建立和影響因子分析
• 2020美賽F獎論文（三）：足球團隊指標和基於機器學習的球隊表現預測
• 2020美賽F獎論文（四）：模擬退火算法驅動的結構策略設計
• 2020美賽F獎論文（五）：結合團隊動力學的模型拓展、模型評價

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3 傳球網絡模型（PNM）的建立和影響因子分析

爲了構造結構化的傳球網絡，用來分析球員間傳球配合的默契程度，應在不同多維度、狀態變化情況下進行分析。例如從微觀上兩兩球員之間的行爲，到宏觀上多個球員之間的行爲；以及時間尺度從比賽中的單位時刻到整個賽季。

3.1 傳球評價指標（PEI）

兩人傳球評價指數$\text{PassValue}(p_{i}, p_{j})$，用於評價兩人配合程度。在一場球賽中，宏觀來看，球員相對於球場可以視爲一個個節點，球場可以視爲一個網絡，每一次傳球可以視爲節點之間的連線。以兩人之間每次傳球累計評價$P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)$作爲2人的傳球評價指數。在多人傳球評價體系中，將三個節點連接成閉合環路，邊權之和即爲3人傳球評價指數。

$\text{Pass}\text{Value}\left( p_{i},p_{j},p_{k} \right) = \ \text{EdgeValue}\left( i,j \right) + \text{EdgeValue}\left( i,k \right) + E\text{dgeValue}\left( j,k \right)$

通過生活經驗和數據挖掘所發現的規律可以構建PEI計算模型：

1. Weight table of pass types:

$\alpha_{i}\ \text{is}\ \text{constant}\ \text{for}\ i\ \text{in}\ \text{Pass}\ \text{Types}.$

2. 計算傳球或接球時分別受到的防守壓力$\text{Def}\text{Press}\left( p_{i} \right)$

$\text{Def}\text{Press}\left( p_{i} \right) = 1 - \frac{1}{2}\tan{\lbrack\frac{11}{6} \times (\frac{x_{p_{i}}}{100} - 0.6)\rbrack}$

其中，x爲球員到對方球門的橫座標，與受到的防守壓力成負相關

3. 兩人之間的邊權$\text{EdgeValue}\left( i,j \right)$，即單次傳球評價，爲此次傳球類型的權重乘以防守壓力加權平均數，量化爲以下公式。

$\left\{ \begin{matrix} \text{EdgeValue}\left( i,j \right) = P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) \\ P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) = \sum_{i\ \text{in}\ \text{Pass}}^{}{\alpha_{i}*\left( \text{Def}\text{Press}\left( p_{i - \text{from}} \right)*0.3 + \text{Def}\text{Press}\left( p_{i - \text{to}} \right)*0.7 \right)} \\ \end{matrix} \right.\$

根據這一傳球評價指數模型，統計出一定時間範圍內所有參與比賽的$N$個球員的鄰接矩陣數據$\text{Arr}$。由$\text{Arr}\left\lbrack i,\ j \right\rbrack = P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)$得每兩人之間所有傳球價值評價總和圖:

3.2 傳球網絡模型構建及識別網絡模式

網絡上兩兩球員之間的聯繫，宏觀上體現爲球員間傳球的評價總和。篩選兩人傳球評價超過一定閾值的邊，運用圖論的方法選擇性剔除交叉邊，將基於傳球評價指數構建的line-up傳球網絡可視化，用線的深淺表示$P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)$：

$\left\{ \begin{matrix} \text{lig}h\text{ter},P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)\ \text{is}\ \text{less} \\ \text{deeper},P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)\text{is}\ \text{more} \\ \end{matrix} \right.\$

$\text{Color}_{\text{Pass}}\left( i,j \right) = \text{Palette}\left( \frac{P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) - \operatorname{}{P\text{assValue}\left( p_{a},\ p_{b} \right)}}{\operatorname{}{P\text{assValue}\left( p_{a},\ p_{b} \right)} - \operatorname{}{P\text{assValue}\left( p_{a},\ p_{b} \right)}} \right)$

從這一模型的可視化中，我們可以直觀地分析傳球配合頻繁和默契地球員，還可以直觀的看出主力球員中多人傳球配合的組合。

N	Players	Score
2	M1	F2			342.4
	M1	M3			338.6
	D5	F2			213.4
3	M1	M3	F2		816.1
	D5	M1	F2		727.8
4	D5	M1	M3	F2	1113.5

3.3 時間尺度上傳球狀態波動

傳球頻率會在時間尺度上進行波動。定義$\text{Passe}s\left( 0,t \right)$

$\text{Passes}\left( 0,t \right)\ \text{is}\ the\ \text{sum}\ \text{of}\ \text{passes}\ \text{before}\ t.$

並以$\text{Passe}s\left( 0,t \right)$作爲球隊實時狀態的指標。球賽剛開始時，球員身體還未warm
up，導致傳球概率密度較小，5—10分鐘過後，傳球效率逐漸提高並大致趨於穩定，即：

$\left\{ \begin{matrix} \text{Passe}s^{'}\left( 0,t \right) > 0 \\ \text{Passe}s^{''}\left( 0,t \right) < 0 \\ \operatorname{}\text{Passes}\left( 0,t \right) = P_{0} \\ t_{0} < \frac{\text{Halftime}}{2} \\ \end{matrix} \right.\$
隨着時間推移，球員們體力消耗，傳球密度降低，即傳球數量的增速減緩（雖然一場球賽中成功傳球次數仍在增加，但傳球失敗頻率開始增加），此後傳球密度呈現下降趨勢，即：

$\left\{ \begin{matrix} \text{Passe}s^{'}\left( 0,t \right) < 0 \\ \text{Passe}s^{''}\left( 0,t \right) > 0 \\ \operatorname{}\text{Passes}\left( 0,t \right) = P_{1} < P_{0} \\ t_{0} > \frac{\text{Halftime}}{2} \\ \end{matrix} \right.\$

縱觀整個賽季中38場球賽球員們的傳球頻率密度，整體上看可以與單場球賽所展示出的頻率密度變化趨勢相同。以時間爲橫座標，成功傳球密度爲縱座標作圖：

$\text{Passes}\left( t_{1},t_{2} \right) = \int_{t_{2}}^{t_{1}}{\text{PassDiv}\left( t \right)\text{dt}}$

總體來說，傳球的密度在時間尺度上相對穩定。若使用Monte Carlo方法對每次傳球進行模擬，設定在上一次傳球后下一次傳球還需要的時間概率分佈服從$N\left( \theta,1 \right)$，其中$\theta$爲統計的平均傳球間隔時間，則在樣本規模$N$滿足$\operatorname{}N \approx 2$時會近似與左圖的分佈；隨着樣本規模增加，當滿足$\operatorname{}N > 4$後則會近似與右圖的分佈。因此我們可以認爲每一個時間點發生傳球事件的概率服從$N\left( 0,1 \right)$。

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