一、什麼是動態規劃？
要先理解動態規劃的話，我們要先知道什麼叫“分治”思想。
這就要提一下分治的祖師爺了——大禹
當面對波濤洶涌的洪水，人力顯得多麼的蒼白無力，然鵝，大佬站出來了，提出：我們把洪水不斷的分流，然後對每一條支流進行處理就可以處理好洪水了。
那麼分治思想就是：大事化小，小事化無
與此同時，動態規劃算是分治思想的延伸，它主要是把原問題分治爲各個大問題，把大問題分解成各個小問題，然後保存各個小問題的解用於處理上層大問題的解。
那麼動態規劃的特點也就出現了：
- 把原來的問題分解成幾個相似的子問題
- 所有子問題都只解決一次
- 存儲子問題的解
二、如何使用動態規劃
我們先要認知動態規劃的本質：
是對問題狀態的定義和狀態轉移方程的定義(狀態以及狀態之間的遞推關係)
我們一般從四個角度來考慮問題：
- 狀態的定義
- 狀態間的轉移方程定義
- 狀態初始化
- 返回結果
適用場景：最大值/最小值, 可不可行, 是不是，方案個數
三、具體案例
不談案例的算法都是耍流氓 --沃茲基碩德
下面從簡單到難的案例，來學會動態規劃。
1.Fibonacci
大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲 0）。 n<=39 int
Fibonacci(int n)
public int Fibonacci(int n) {
if(n == 0){
return 0;
}
if(n == 1 || n == 2){
return 1;
}
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
這是遞歸版本的斐波那契數列，我們都知道它的缺陷，太費棧空間，重複運算太多次，那麼我們用動態規劃試一下。
1.狀態的定義
這裏很明顯，我們求F（n）的值，F（n）爲第n項的值
2.轉移方程
就是通項公式 F(N) = F(N-1)+F(N-2)；
3.初始化
F(0)=0
F(1) = 1;
4.返回結果
F(n)
到此，對於這道題已經完成了85%以上了，代碼只佔15%，那麼我們寫一下代碼吧。
if(n == 0){
return 0;
}
if(n == 1 || n == 2){
return 1;
}
int F1 = 1;
int F2 = 1;
int result = 0;
for (int i=3; i<=n; i++){
result = F1 + F2;
F1 = F2;
F2 = result;
}
return F2;
這道題只是初步感受一下，下面我們感受第二題。
2.變態青蛙跳臺階(Climbing Stairs)
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
我們來分析一下。
1.狀態的定義
這和上一題差不多，我們定義F(n)，表示到n階臺階的走法。
2.轉移方程
這裏就需要思考了，我們到N階臺階的話，那麼我們前一步應該在哪？
由於這個青蛙比較牛批，它可以任意跳，也就是說，它在n-1個臺階裏面的任何一個臺階都可以一步跳到最後一格，那麼，也就是說，F(N)的值，應該是它前面每一個臺階值的累計和，換而言之，就是到第1個臺階的路徑個數+到第二個臺階的路徑個數+…+n-1個臺階路徑個數。
F(N) = F(N-1) + F(N-2) + F(N-3) + … + F(0)；
那麼這個東西還是不好整啊，這是什麼鬼？我們不妨再推一下，
F(N-1) = F(N-2)+F(N-3)+…F(0);
用這個算式替代一下第一個算式的部分，那麼就有
狀態方程: F(N) = 2*F(N-1);
3.狀態初始化:
F(0) = 0; // 輔助狀態，表明沒有臺階
F(1) = 1; // 一個臺階的話，只有一種走法
4.返回結果
F（N）
至此，這道題結束了，上代碼。
public int JumpFloorII(int target) {
if(target <= 0){
return 0;
}
if(target == 1){
return 1;
}
int F1 = 1;
for (int i=2;i<=target;i++){
F1 *= 2;
}
return F1;
}
是不是很簡單了，下面上老生常談的問題。
3.最大連續子數組和(Maximum Subarray)
HZ偶爾會拿些專業問題來忽悠那些非計算機專業的同學。今天測試組開完會後,他又發話了:在古老的一維模式識別中,常常需要計算連續子向量的最大和,當向量全爲正數的時候,問題很好解決。但是,如果向量中包含負數,是否應該包含某個負數,並期望旁邊的正數會彌補它呢？
例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},連續子向量的最大和爲8(從第0個開始,到第3個爲止)。給一個數組，返回它的最大連續子序列的和，你會不會被他忽悠住？(子向量的長度至少是1)
這道題就是在求最大連續子數組和。繼續分析
1.狀態的定義
我們先定義一下：F(i)，表明第i個元素連續最大子數組和。
這樣開始分析，我們要找到第i個的最大連續子數組和，那麼我們勢必要找i-1，但是一直遞推下去，我們根本不知道前面的元素該不該用。那麼這樣定義肯定是不行的。我們轉念一想，如果這樣定義呢：F(i)表示，以第i個元素元素結尾的最大連續子數組和。因爲我們知道，當前的元素值，那麼根據前面的最大連續和來判斷這個當前該不該加。不該加就是從當前開始
2.轉移方程
F(i) = Max(A[i],F(i-1)+A[i]);
3.初始化
建立一個矩陣用於保存到i的最大值
F[0] = Array[0];
4.結果
返回這個矩陣裏面最大的那個值。
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int[] dp = new int[array.length];
dp[0] = array[0];
int result = array[0];
for (int i=1; i<array.length; i++){
dp[i] = Math.max(array[i], dp[i - 1] + array[i]);
if(dp[i] > result){
result = dp[i];
}
}
return result;
}
這樣還是浪費空間，可以改進一下,如果題對原數組不做要求，直接改原數組就可以了
public class Solution {
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int result = array[0];
for (int i=1; i<array.length; i++){
array[i] = Math.max(array[i], array[i - 1] + array[i]);
if(array[i] > result){
result = array[i];
}
}
return result;
}
}