一、什么是动态规划？
要先理解动态规划的话，我们要先知道什么叫“分治”思想。
这就要提一下分治的祖师爷了——大禹
当面对波涛汹涌的洪水，人力显得多么的苍白无力，然鹅，大佬站出来了，提出：我们把洪水不断的分流，然后对每一条支流进行处理就可以处理好洪水了。
那么分治思想就是：大事化小，小事化无
与此同时，动态规划算是分治思想的延伸，它主要是把原问题分治为各个大问题，把大问题分解成各个小问题，然后保存各个小问题的解用于处理上层大问题的解。
那么动态规划的特点也就出现了：
- 把原来的问题分解成几个相似的子问题
- 所有子问题都只解决一次
- 存储子问题的解
二、如何使用动态规划
我们先要认知动态规划的本质：
是对问题状态的定义和状态转移方程的定义(状态以及状态之间的递推关系)
我们一般从四个角度来考虑问题：
- 状态的定义
- 状态间的转移方程定义
- 状态初始化
- 返回结果
适用场景：最大值/最小值, 可不可行, 是不是，方案个数
三、具体案例
不谈案例的算法都是耍流氓 --沃兹基硕德
下面从简单到难的案例，来学会动态规划。
1.Fibonacci
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为 0）。 n<=39 int
Fibonacci(int n)
public int Fibonacci(int n) {
if(n == 0){
return 0;
}
if(n == 1 || n == 2){
return 1;
}
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
这是递归版本的斐波那契数列，我们都知道它的缺陷，太费栈空间，重复运算太多次，那么我们用动态规划试一下。
1.状态的定义
这里很明显，我们求F（n）的值，F（n）为第n项的值
2.转移方程
就是通项公式 F(N) = F(N-1)+F(N-2)；
3.初始化
F(0)=0
F(1) = 1;
4.返回结果
F(n)
到此，对于这道题已经完成了85%以上了，代码只占15%，那么我们写一下代码吧。
if(n == 0){
return 0;
}
if(n == 1 || n == 2){
return 1;
}
int F1 = 1;
int F2 = 1;
int result = 0;
for (int i=3; i<=n; i++){
result = F1 + F2;
F1 = F2;
F2 = result;
}
return F2;
这道题只是初步感受一下，下面我们感受第二题。
2.变态青蛙跳台阶(Climbing Stairs)
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
我们来分析一下。
1.状态的定义
这和上一题差不多，我们定义F(n)，表示到n阶台阶的走法。
2.转移方程
这里就需要思考了，我们到N阶台阶的话，那么我们前一步应该在哪？
由于这个青蛙比较牛批，它可以任意跳，也就是说，它在n-1个台阶里面的任何一个台阶都可以一步跳到最后一格，那么，也就是说，F(N)的值，应该是它前面每一个台阶值的累计和，换而言之，就是到第1个台阶的路径个数+到第二个台阶的路径个数+…+n-1个台阶路径个数。
F(N) = F(N-1) + F(N-2) + F(N-3) + … + F(0)；
那么这个东西还是不好整啊，这是什么鬼？我们不妨再推一下，
F(N-1) = F(N-2)+F(N-3)+…F(0);
用这个算式替代一下第一个算式的部分，那么就有
状态方程: F(N) = 2*F(N-1);
3.状态初始化:
F(0) = 0; // 辅助状态，表明没有台阶
F(1) = 1; // 一个台阶的话，只有一种走法
4.返回结果
F（N）
至此，这道题结束了，上代码。
public int JumpFloorII(int target) {
if(target <= 0){
return 0;
}
if(target == 1){
return 1;
}
int F1 = 1;
for (int i=2;i<=target;i++){
F1 *= 2;
}
return F1;
}
是不是很简单了，下面上老生常谈的问题。
3.最大连续子数组和(Maximum Subarray)
HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？
例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)
这道题就是在求最大连续子数组和。继续分析
1.状态的定义
我们先定义一下：F(i)，表明第i个元素连续最大子数组和。
这样开始分析，我们要找到第i个的最大连续子数组和，那么我们势必要找i-1，但是一直递推下去，我们根本不知道前面的元素该不该用。那么这样定义肯定是不行的。我们转念一想，如果这样定义呢：F(i)表示，以第i个元素元素结尾的最大连续子数组和。因为我们知道，当前的元素值，那么根据前面的最大连续和来判断这个当前该不该加。不该加就是从当前开始
2.转移方程
F(i) = Max(A[i],F(i-1)+A[i]);
3.初始化
建立一个矩阵用于保存到i的最大值
F[0] = Array[0];
4.结果
返回这个矩阵里面最大的那个值。
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int[] dp = new int[array.length];
dp[0] = array[0];
int result = array[0];
for (int i=1; i<array.length; i++){
dp[i] = Math.max(array[i], dp[i - 1] + array[i]);
if(dp[i] > result){
result = dp[i];
}
}
return result;
}
这样还是浪费空间，可以改进一下,如果题对原数组不做要求，直接改原数组就可以了
public class Solution {
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int result = array[0];
for (int i=1; i<array.length; i++){
array[i] = Math.max(array[i], array[i - 1] + array[i]);
if(array[i] > result){
result = array[i];
}
}
return result;
}
}