編程金融小白學 股票期權 lv.4 隱含波動率

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編程金融小白學 股票期權

隱含波動率

波動率 $\sigma$

• 波動率 $\sigma$

  • 波動率爲期權價格影響的一個重要因素
  • 沒有波動，期權就沒有存在的價值
  • 不可觀測變量

• 在統計中的對應概念：價格（對數）收益率的年化標準差

$N$ 天數
$R_n$ 第n天的收益率
$\bar{R}$ 平均收益率
$242$ 一年中國交易天數

$\sqrt{242\times\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N(R_n-\bar{R})^2}$

波動率分類

• 歷史波動率 Historical volatility & 未來波動率 Future Volatility

• 歷史波動率法：

  • 基於標的資產已發生的歷史價格數據估計波動率：
    • 標準差
    • 極差波動率
    • 已實現波動率 Realized Volatility (RV)
  • 根據歷史波動率預測未來的波動率：
    • 預測值 = 歷史值
    • GARCH, EWMA
    • HAR-RV

• 隱含波動率法：

  • 從期權價格倒推市場預測未來波動率
    • Black-Scholes 隱含波動率
    • 無模型隱含波動率 (如 VIX)

隱含波動率

• Implied Volatility

• Black-Scholes公式

• 用 Python 把這公式寫出來：

import numpy as np
from scipy.stats import norm

class BlackScholes:
    def __init__(self, S0, X, r, T, sigma=0.3,t=0):
        self.S0 = S0
        self.X = X
        self.r = r
        self.sigma = sigma
        self.dT = T-t
    
    def d1(self):
        return(np.log(self.S0/self.X)+(self.r+self.sigma**2/2)*(self.dT))/(self.sigma*np.sqrt(self.dT))

    def d2(self):
        return self.d1()-self.sigma*np.sqrt(self.dT)
    
    def calc(self, call_put):
        if call_put in {'c','C','call','Call','CALL'}:
            return self.S0 * norm.cdf(self.d1())- \
                    self.X*np.exp(-self.r*self.dT)*norm.cdf(self.d2())
        elif call_put in {'p','P','put','Put','PUT'}:
            return self.X*np.exp(-self.r*self.dT)*norm.cdf(-self.d2())- \
                    self.S0 * norm.cdf(-self.d1())
        raise NameError('Must be call or Put!',call_put)
        
    def imp_vol(self,call_put,mktprice):
        price = 0
        sigma = 0.3
        up, low = 1,0
        loop = 0
        while abs(price-mktprice)>1e-6 and loop<50:
            price = BlackScholes(self.S0,self.X,self.r,self.dT,sigma).calc(call_put)
            if (price-mktprice)>0:
                up = sigma
                sigma = (sigma+low)/2
            else:
                low = sigma
                sigma = (sigma+up)/2
            loop+=1
        return sigma

$\begin{aligned}c &= SN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2)\\ p &= Xe^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1)\\ d_1 &= \frac{\ln(S/X)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ d_2 &= \frac{\ln(S/X)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ &= d_1 -\sigma\sqrt{T-t}\end{aligned}$

c 看漲期權價格
p 看跌期權價格
S 標的資產現價
X 行權價
r 無風險利率
T 到期時刻
t 當前時刻
𝜎 波動率
N()爲標準正態分佈累積分佈函數

• 隱含波動率偏高 $\to$ 期權價格偏高
• 隱含波動率偏低 $\to$ 期權價格偏低

實例

• 來看一下 具體實例：

1. 導入 需要的庫（還是實用 tushare 的數據）

import pandas as pd
import tushare as tus
import matplotlib.pyplot as plt # 畫圖
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 設置中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 設置中文負號

pro = tus.pro_api()
print(tus.__version__)

1.2.54

2. 以上證 50 ETF 爲例
   • 獲取上證 50 ETF 數據

opt_name = pro.opt_basic(exchange='SSE', fields='ts_code,name,exercise_type,list_date,delist_date')
opt_name.head()

	ts_code	name	exercise_type	list_date	delist_date
0	10000579.SH	華夏上證50ETF期權1604認購2.15	歐式	20160225	20160427
1	10000108.SH	華夏上證50ETF期權1505認購2.65	歐式	20150326	20150527
2	10000111.SH	華夏上證50ETF期權1505認沽2.55	歐式	20150326	20150527
3	10001067.SH	華夏上證50ETF期權1712認購3.24	歐式	20171123	20171227
4	10001068.SH	華夏上證50ETF期權1712認沽3.24	歐式	20171123	20171227

3. 提取 需要的期權名 到期日期 價格 認購標籤等
   • 當然 Tushare 本身帶有 這一系列簡單的提取方式，在上式 修改 fields 所需參數 即可。

# 把 name 裏的數據提取出來
opt_name['new_name']= opt_name['name'].str.extract(r'([\u4e00-\u9fa5]+)') # 提取期權名
opt_name['delist'] = opt_name['name'].str.extract(r'(期權)(\d+)')[1].astype(int) # 期權到期日期
opt_name['type']= opt_name['name'].str.extract(r'(\d+)') # 提取期權類型 300 或 50
opt_name['callput']= opt_name['name'].str.extract(r'(\w\w)(\d+\.\d+)')[0]# 認購或認沽
opt_name['price'] = opt_name['name'].str.extract(r'(\d+\.\d+)').astype(float) # 價格
opt_name.drop(columns=['name'],inplace=True)
opt_name['callput'].replace({'認購':'Call', '認沽':'Put'},inplace=True)
opt_name.head()

	ts_code	exercise_type	list_date	delist_date	new_name	delist	type	callput	price
0	10000579.SH	歐式	20160225	20160427	華夏上證	1604	50	Call	2.15
1	10000108.SH	歐式	20150326	20150527	華夏上證	1505	50	Call	2.65
2	10000111.SH	歐式	20150326	20150527	華夏上證	1505	50	Put	2.55
3	10001067.SH	歐式	20171123	20171227	華夏上證	1712	50	Call	3.24
4	10001068.SH	歐式	20171123	20171227	華夏上證	1712	50	Put	3.24

4. 以 昨天 2020年 4 月 29 日數據爲例
   • 提取 2020年 4 月 29 日期權交易數據

# 找到 4月 29日的期權交易數據
DATE = '20200429'
opt_date = pro.opt_daily(trade_date=DATE,exchange='SSE')

5. 合併交易名與交易具體數據

new_date = pd.merge(opt_name,opt_date,on=['ts_code']) # 正在交易的名字和4月29日的數據交集

6. 提取 上證2020年06月到期的 50ETF 認購 4月29日 數據
   • 並按行權價 排序

call_date_2006 = new_date.query('delist == 2006 and type == "50" and callput == "Call"').sort_values(by='price')
call_date_2006.head(5)

	ts_code	exercise_type	list_date	delist_date	new_name	delist	type	callput	price	trade_date	...	pre_settle	pre_close	open	high	low	close	settle	vol	amount	oi
20	10002421.SH	歐式	20200320	20200624	華夏上證	2006	50	Call	2.35	20200429	...	0.46	0.4327	0.4300	0.4542	0.4300	0.4498	0.479	0.0221	985895.0	2353.0
46	10002401.SH	歐式	20200319	20200624	華夏上證	2006	50	Call	2.40	20200429	...	0.41	0.3842	0.3816	0.4050	0.3808	0.3950	0.429	0.0043	170508.0	2079.0
47	10002402.SH	歐式	20200319	20200624	華夏上證	2006	50	Call	2.45	20200429	...	0.36	0.3373	0.3362	0.3576	0.3362	0.3549	0.379	0.0104	364896.0	1075.0
96	10002291.SH	歐式	20200204	20200624	華夏上證	2006	50	Call	2.50	20200429	...	0.31	0.2909	0.2889	0.3130	0.2864	0.3069	0.329	0.0162	493784.0	2725.0
97	10002292.SH	歐式	20200204	20200624	華夏上證	2006	50	Call	2.55	20200429	...	0.26	0.2458	0.2430	0.2673	0.2430	0.2620	0.279	0.0127	328143.0	2058.0

5 rows × 21 columns

7. 爲了解釋 標的資產現價 與 行權價的關係，繪製圖表
   • 可見 越接近 標的資產現價 它的時間價值或者說 期權價 越高

current = 2.829 # 當天收盤價爲 2.829元
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.plot(call_date_2006['price'],current-call_date_2006['price'],color='red',label='股票收益')
plt.stem(call_date_2006['price'],call_date_2006['settle'],use_line_collection=True)
plt.ylabel('結算價 & 股票收益')
plt.xlabel('行權價格')
plt.ylim((-.1,.5))
plt.title('4月29日 華夏上證50ETF期權2006 認購')
plt.show()

8. 具體行權價與期權價到期收益情況繪圖
   • 更改一下之前作簡要介紹的期權類，就變如下：

class OptionPlot:
    '''
    輸入行權價 與 到期價格區間 繪製 期權收益圖像
    
    ST: 到期價區間
    opt: 期權價
    X: 行權價
    '''
    def __init__(self, X, ST, buy=True):
        self.ST = ST
        self.X = X
        self.buy = 1 if buy else -1
    
    def call_opt(self, opt:float=0):
        return self.buy*((self.ST-self.X)*(self.ST>=self.X)-opt)
    
    def put_opt(self, opt:float=0):
        return self.buy*((self.X-self.ST)*(self.ST<=self.X)-opt)

plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.axhline(y=0,ls="-",c="black")
plt.axvline(x=current,ls="-",c="black")
ST_period = np.linspace(2.35,3.5,101)
plt.plot(ST_period,ST_period-current,color='red',linewidth = '3',label='股票收益')
for i in call_date_2006['settle'].index[6:18]:
    option_price = call_date_2006['settle'][i] # 期權價
    price = call_date_2006['price'][i] # 行權價
    if not price*100%5:
        buy = OptionPlot(price,ST_period)
        plt.plot(ST_period,buy.call_opt(option_price),label=f'行權價({price})')
plt.ylabel('收益')
plt.xlabel('到期價格')
plt.xlim((2.6,3.0))
plt.ylim((-.2,.2))
plt.title('4月29日 華夏上證50ETF期權2006 認購')
plt.legend(loc='upper left')
plt.grid(True)
plt.show()

* 從之前所學，可知 虛值期權 它的風險是相當高，同時當你買入實值越大的期權時，隨着期權費越高，它和普通股票價格直線越接近。

9. 接下來 我們 來看看之前構造的 BlackScholes 定價系統
   • 輸入當天價格 current、行權價 call_date_2006['price']、無風險利率 5%、到期時間 40/250=0.16年、默認波動率 30%
   • 對比 BS 期權價 與 實際 期權價

BS = [BlackScholes(current, x, 0.05, 0.16) for x in call_date_2006['price']]
BS_price = np.array([bs.calc('c') for bs in BS])
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.stem(call_date_2006['price'],call_date_2006['settle'],'b',use_line_collection=True,label='市場 期權價')
plt.plot(call_date_2006['price'],BS_price,'r',label='BS計算 期權價')
plt.xlabel('認購期權價格')
plt.title('4月29日 華夏上證50ETF期權2006 BS波動率30% 認購期權價格')
plt.legend(loc='upper right')
plt.grid(True)
plt.show()

marketprice = list(call_date_2006['settle']) # 市場期權價
imp_vol = np.array([bs.imp_vol('c',marketprice[i]) for i,bs in enumerate(BS)])
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.plot(call_date_2006['price'],imp_vol)
plt.ylabel('隱含波動率')
plt.ylim((-.1,1.1))
plt.yticks(np.arange(0,1.1,0.1), [f'{int(y*100)}%' for y in np.arange(0,1.1,0.1)])
plt.xlabel('行權價格')
plt.title('4月29日 華夏上證50ETF2006認購期權 隱含波動率')
plt.grid(True)
plt.show()

繪製期權隱含波動率

• 結合上面的分步繪圖 我們可以繪製出 並對比 當前所有可購買 50EFT 期權的隱含波動率

opt_name = pro.opt_basic(exchange='SSE')
opt_name['type']= opt_name['name'].str.extract(r'(\d+)') # 提取期權類型 300 或 50

opt_name.head(2) # 預覽

	ts_code	exchange	name	per_unit	opt_code	opt_type	call_put	exercise_type	exercise_price	s_month	maturity_date	list_price	list_date	delist_date	last_edate	last_ddate	quote_unit	min_price_chg	type
0	10000579.SH	SSE	華夏上證50ETF期權1604認購2.15	10000.0	OP510050.SH	ETF期權	C	歐式	2.15	201604	20160427	0.0412	20160225	20160427	20160427	20160428	人民幣元	0.0001	50
1	10000108.SH	SSE	華夏上證50ETF期權1505認購2.65	10000.0	OP510050.SH	ETF期權	C	歐式	2.65	201505	20150527	0.1006	20150326	20150527	20150527	20150528	人民幣元	0.0001	50

# 找到 4月 29日的期權交易數據
DATE = '20200429'
opt_date = pro.opt_daily(trade_date=DATE,exchange='SSE')

new_date = pd.merge(opt_name,opt_date,on=['ts_code'])

current = 2.829
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
for s_month in new_date.s_month.unique():
    call_date = new_date[new_date['s_month'] == s_month].query(f'type == "50" and call_put == "C"').sort_values(by='exercise_price')
    ex_price = call_date['exercise_price'] # 行權價
    opt_price = call_date['settle'] # 期權價
    comb_BS = [(BlackScholes(current, ex_price[i], 0.05, 0.16), opt_price[i])for i in ex_price.index]
    imp_vol = np.array([bs.imp_vol('c',marketprice) for bs,marketprice in comb_BS])
    plt.plot(ex_price,imp_vol,label=f'認購期權{s_month[2:]}')
for s_month in new_date.s_month.unique():
    put_date = new_date[new_date['s_month'] == s_month].query(f'type == "50" and call_put == "P"').sort_values(by='exercise_price')
    ex_price = put_date['exercise_price'] # 行權價
    opt_price = put_date['settle'] # 期權價
    comb_BS = [(BlackScholes(current, ex_price[i], 0.05, 0.16), opt_price[i])for i in ex_price.index]
    imp_vol = np.array([bs.imp_vol('p',marketprice) for bs,marketprice in comb_BS])
    plt.plot(ex_price,imp_vol,'--',label=f'認沽期權{s_month[2:]}')
    
plt.ylabel('隱含波動率')
plt.ylim((-.1,1.1))
plt.yticks(np.arange(0,1.1,0.1), [f'{int(y*100)}%' for y in np.arange(0,1.1,0.1)])
plt.xlabel('行權價格')
plt.title(f'{DATE[4:6]}月{DATE[6:]}日 華夏上證50ETF認購期權 隱含波動率')
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

• 看跌期權波動率 普遍比 看漲波動率高，說明投資者比較偏愛於購買看跌期權。

下篇 希臘字母概要