信號與系統(Python) 學習筆記摘錄 (2) 傅里葉 Fourier

• 【總目錄】
  • (1) 簡介 Intro
  • (2) 傅里葉 Fourier
    • 常用函數的傅里葉變換匯總
  • (3) LTI 系統 與 濾波器
    • 二次抑制載波振幅調製接收系統 Python
  • (4) 取樣 Sampling
  • (5) 離散傅里葉 Discrete Fourier

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2. 傅里葉 Fourier

2.1. 傅里葉級數

2.1.1. 矢量正交

• 兩正交矢量的內積爲零: $\vec{V_1} \cdot \vec{V_2} = \lvert V_1 \rvert \cdot \lvert V_2\rvert \cos 90^\circ = 0$
• 正交矢量集: 由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。
• 矢量正交分解: 任意 $N$ 維矢量可有 $N$ 維度 正交座標系表示:
  $\vec{V} = c_1\vec{V_1} + c_2\vec{V_2} + \cdots + c_r\vec{V_r} + \cdots + c_n \vec{V_n}, \, (V_i \cdot V_j = 0, \, i \neq j)$
  $c_r =\frac{\lvert V \rvert \cos \theta_r}{\lvert V_r \rvert} = \frac{\vec{V} \cdot \vec{V_r}}{\vec{V_r}\cdot\vec{V_r}}$

2.1.2. 信號正交

• 定義: 在 $(t_1,t_2)$ 區間的兩個函數 $\varphi_1(t)$ 和 $\varphi_2(t)$, 若滿足
  $\int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t = 0, \, \text{(兩函數的內積爲0)}$
  則稱 $\varphi_1(t)$ 和 $\varphi_2(t)$ 在區間 $(t_1, t_2)$ 內正交

  • 實函數正交 $\int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2 (t)d t = 0, \, \text{(兩函數的內積爲0)}$

• 正交函數集: 若 $n$ 個函數 $\varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t)$ 構成一個函數集, 當這些函數在區間 $(t_1,t_2)$ 內滿足
  $\begin{aligned}\int_{t_i}^{t_j} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t ={\begin{cases} 0,\, & i\neq j \\ K_j \neq 0 , \, & i=j \end{cases}}\end{aligned}$
  則稱此函數爲函數集在區間 $(t_1,t_2)$ 上的正交函數集。

  • 若 $K_i= 1$, 稱爲標準正交函數集。

• 完備正交函數集: 如果在正交函數集 $\{ \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) \}$ 之外，不存在任何函數 $\varphi(t) (\neq0)$ 滿足
  $\int_{t_1}^{t_2} \varphi(t) \varphi_i^* (t)d t = 0, \, (i = 1,2,\cdots, n)$
  則稱此函數集爲完備正交函數集。

• 信號的正交分解: 設由 $n$ 個函數 $\varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots, \varphi_n(t)$ 在區間 $(t_1,_2)$ 構成一個正交函數空間。將任一函數 $f(t)$ 用這 $n$ 個正交函數的線性組合來近似, 可表示爲
  $f(t) \approx C_1\varphi_1(t) + C_2\varphi_2(t) + \cdots + C_i\varphi_i(t) + \cdots + C_n\varphi_n(t) = \displaystyle \sum^{n}_{j=1} C_j \varphi_j(t)$

  • 使誤差的均方誤差 $\overline{\varepsilon^2} = \displaystyle \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}\big[f(t)-\sum^n_{j=1} C_j\varphi_k(t)\big]^2 dt$ 最小,
    要令 $\displaystyle\frac{\partial\overline{\varepsilon^2}}{\partial C_i} = 0$ 即
    $\displaystyle\overline{\varepsilon^2} = \frac{1}{t_2-t_1}\Big[\int^{t_2}_{t_1} f^2(t)dt - \sum^n_{j=1} \int^{t_2}_{t_1}\big[C_j\varphi_j(t)\big]^2dt\Big]\geq0$
    • 可知 在正交函數去近似 $f(t)$ 時, 所取的項數越多, 即 $n$ 越大, 則均方誤差越小。當 $n\to\infty$ 時 (完備正交函數集), 均方誤差爲零。

• 廣義傅里葉係數:

  • 複變函數: $C_i = \displaystyle\frac{\int^{t_2}_{t_1}f(t)\varphi_i^*(t)dt}{\int^{t_2}_{t_1}\varphi_i(t)\varphi_i^*(t)dt} = \frac{1}{K_i}\int^{t_2}_{t_1}f(t)\varphi_i^*(t)dt$

• 帕什瓦爾 Parseval 方程:
  $\int^{t_2}_{t_1} f^2(t)dt = \sum^\infty_{i=1} \int^{t_2}_{t_1}\big[C_i\varphi_j(t)\big]^2dt$

  • 物理意義: 在區間 $(t_1,t_2)$, 信號 $f(t)$ 所含由的能量恆等於此信號在完備正交函數集 中各正交分量能量之和, 即 能量守恆定理 也稱 帕什瓦爾定理。
  • 數學本質: 矢量空間信號正交變換的範數不變性。

2.1.3. 三角函形式

• 三角函數集 $\{ 1, \cos(n\Omega t), \sin(n\Omega t), n = 1,2,\cdots\}$

• 三角形式的傅里葉級數: 設週期信號爲 $f(t)$, 其週期爲 $T$, 角頻率爲 $\Omega = 2\pi/T$, 當滿足 Dirichlet 狄裏赫利 條件時, 可展開爲
  $\begin{aligned}f(t) = \displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} a_n \cos(n\Omega t) + \sum^\infty_{n=1} b_n \sin(n\Omega t) \\ \text{合併 n 次正餘弦分量} \to f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} A_n \cos\big(n\Omega t + \varphi_n\big) \\ \begin{cases} A_n & = \sqrt{a^2_n + b^2_n} \\ \varphi_n & = - \arctan \frac{b_n}{a_n} \end{cases} \begin{cases} a_n & = A_n \cos \varphi_n \\ b_n & = - A_n \sin \varphi_n \end{cases} \end{aligned}$

  • 係數 $a_n, b_n$ 稱爲傅里葉係數
  • 直流分量係數: $\displaystyle\frac{a_0}{2} = \frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$
  • 餘弦分量係數: $\displaystyle a_n = \frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt$
  • 正弦分量係數: $\displaystyle b_n = \frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt$
  • 直流分量 $A_0/2$ , 基波 (一次諧波) $A_1 \cos(\Omega t + \varphi_1)$ , n次諧波 $A_n \cos(n \Omega t + \varphi_n)$

Dirichlet 狄裏赫利 條件:

1. f(x) must absolutely integrable over a period. 在單個週期內絕對可積
   $\int^T_0 \lvert f(t) \rvert dt < \infty$
2. f(x) must have a finite number of exterma in any given interval, i.e. there must be a finite number of maxima and minima in the interval. 在一個週期內，函數有有限個極大值或極小值。
3. f(x) must have a finite number of discontinues in any given interval, however the discontinuity cannot be infinite. 函數在任意有限區間內連續，或只有有限個第一類間斷點
4. f(x) must be bounded.

• 諧波特性:

  1. $f(t)$ 爲偶函數 $\big(f(t)=f(-t)\big)$ 時，$b_n = 0$ 展開爲餘弦級數
  2. $f(t)$ 爲奇函數 $\big(f(t)=-f(-t)\big)$ 時，$a_n = 0$ 展開爲正弦級數
  3. $f(t)$ 爲奇諧函數 $\big(f(t)=-f(t\pm T/2)\big)$ 時，$a_i= b_i = 0, \, (i=0,2,4,\cdots)$ 展開級數只含奇次諧波分量，不含偶次諧波分量。
  4. $f(t)$ 爲偶諧函數 $\big(f(t)=f(t\pm T/2)\big)$ 時，$a_i= b_i = 0, \, (i=1,3,5,\cdots)$ 展開級數只含偶次諧波分量，不含奇次諧波分量。

• 例：圖示方波信號f(t) 爲奇諧函數 展開爲傅里葉級數
  
  解得: $\displaystyle f(t) = 0 + \frac{4}{\pi} \sum^n_{i=0}\big[\frac{1}{1+2i}\sin{\big((1+2i)\Omega t\big)}\big], \, \Omega = \frac{2\pi}{T}, \, T=2$
  

• 吉布斯現象: 在有限項傅里葉級數表示有間斷點的信號時, 在間斷點附近不可避免的會出現震盪和超調量。超調量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。只是隨着項數的增多, 震盪頻率變高, 並向間斷點處壓縮, 從而使它所佔有的能量減小。當選取的項數很大時, 該超調量趨近於一個常數, 大約等於總跳變值的9%, 並從間斷點開始以起伏震盪的形式逐漸衰減下去。

2.1.4. 指數形式

• 歐拉公式 Euler’s formula: $e^{\pm jt} = \cos(t) \pm j\sin(t)$

• 指數形式: 利用歐拉公式可得
  $\begin{aligned}\displaystyle f(t) & = \frac{A_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} A_n \cos\big(n\Omega t + \varphi_n\big)\\ & = \frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=-\infty} A_n e^{j\varphi_n}e^{jn\Omega t} \\ & = \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{jn\Omega t} F_n, \, \big(F_n = \frac{1}{2} A_n e^{j\varphi_n} = \lvert F_n \rvert e^{j\varphi_n} = \frac{1}{2}(a_n-j b_n)\big) \end{aligned}$

• 復傅里葉係數 簡稱 傅里葉係數 爲 $F_n$:

  • 利用歐拉公式可得 $\displaystyle F_n = \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn\Omega t} dt$

2.1.5. 頻譜

頻譜分類	直流分量	幅度	相位	n
單邊譜	$A_0/2$	$A_n$	$\varphi_n$	$n=0,1,2,\cdots$
多邊譜	$F_0$	$\lvert F_n\rvert$	$\varphi_n$	$n=0,\pm1,\pm2,\cdots$

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• $\lvert F_n \rvert$ 是 $n$ 的偶函數, 雙邊幅度譜的譜線高度爲單邊幅度譜的一半，關於縱軸對稱; 而直流分量值不變。
• $\varphi_n$ 是 $n$ 的奇函數，雙邊相位譜可以由單邊相位譜直接關於零點奇對稱。

2.1.6. Sa 函數

$\text{Sa}(x) = \displaystyle\frac{\sin(x)}{x}$

• 對於脈衝幅度爲 $1$, 寬度爲 $\tau$, 週期爲 $T$ 的週期矩形脈衝,
  $\begin{aligned}F_n &= \displaystyle \frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t) e^{-jn\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}e^{-jn\Omega t} dt \\ &= \frac{\tau}{T}\text{Sa}\big(\frac{n\Omega \tau}{2}\big)\end{aligned}$

• 用 Python 畫出 $T=4\tau, \displaystyle\Omega=\frac{2\pi}{\tau}$ 的頻譜 $F_n$

    # 導入 需要的 library 庫  
    import numpy as np # 科學計算
    import matplotlib.pyplot as plt # 畫圖工具
    import scipy.signal as sg # 導入 scipy 的 signal 庫 命名爲 sg
    
    # 用 Python 表示 
    def Sa(x):
        return np.divide(np.sin(x),x) if x != 0 else 1

    def F_n(T,ns,tau):
        omega = 2*np.pi/T
        return np.array([round(np.divide(tau,T)*Sa(np.divide(n*omega*tau, 2)),6) for n in ns])
    
    # 畫圖
    n = np.linspace(-12,12,25)
    y = F_n(8*np.pi, n, 2*np.pi)
    plt.stem(n, y, '-',label='f', markerfmt='C3o',  use_line_collection=True)
    plt.xticks(n[::4],[fr'${i*4}\Omega$'for i in range(-3,4)])
    plt.title(r'FIG. 2.1: $T=4\tau, \Omega = 2\pi/\tau$')
    plt.show()

2.1.7. 頻譜特點

• 週期信號頻譜的特點

  1. 離散性: 以基頻 $\Omega$ 爲間隔的若干離散譜線組成;
  2. 諧波性: 譜線僅含有基頻 $\Omega$ 的整數倍分量;
  3. 收斂性: 整體趨勢減小。

• $T$ 不變, $\tau$ 變小

  • 譜線間隔 $\Omega$ 不變
  • 幅度下降
  • 零點右移動, 兩零點間譜線數目 $T/\tau$ 增加

• $\tau$ 不變, $T$ 變大
  • 譜線間隔 $\Omega$ 變小,
  • 幅度下降,
  • 頻譜變密。

• 當 $T \to \infty$ 時, 譜線間隔 $\Omega = 2\pi/T \to 0$, 譜線幅度 $\to 0$, 週期信號的離散頻譜過渡爲非週期信號的連續頻譜。

  • 頻譜密度函數:
    $\begin{aligned}F_n &= \displaystyle \frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t) e^{-jn\Omega t} dt \\ T & \to \infty \, \text{時} \\ \Omega & \to d \Omega \; \text{(無窮小量)} \\ n\Omega &\to \omega \; \text{(離散}\to \text{連續)} \\ F(j\omega) & = \lim_{T\to\infty} F_nT \; \text{(單位頻率上的頻譜)} \\ &= \lim_{T\to\infty}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t) e^{-jn\Omega t} dt \\ &=\int^{\infty}_{-\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \end{aligned}$
  • $F(j\omega)$ 稱爲頻譜密度函數，簡稱頻譜密度或頻譜。

• 收斂性分析:

  1. 振幅是收斂的: 信號的能量主要集中在低頻分量中
  2. 收斂具有不同速度: 信號連續光滑， 幅度譜快速衰減。
     • 低頻反應信號的主要信息, 高頻表現細節。

     方波的幅度譜 按照 $\frac{1}{n}$ 緩慢衰減
     三角波的幅度譜 按照 $\frac{1}{n^2}$ 緩慢衰減

2.1.8. 週期信號的功率

• 週期信號一般爲功率信號, 其平均功率爲:
  $\begin{aligned}P & =\frac{1}{T} \int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}}f^2(t)dt \\ &=\frac{1}{T} \int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}} \Big[ \frac{A_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} A_n \cos\big(n\Omega t + \varphi_n\big)\Big]^2 dt \\ &= \frac{A_0}{2}^2 + \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{2} A_n^2\\ &= \lvert F_0 \rvert ^2 + 2 \sum^\infty_{n=1} \lvert F_n\rvert^2 \\ &= \sum^\infty_{n=-\infty} \lvert F_n\rvert^2 \end{aligned}$
  • 這是 帕斯瓦爾定理(Parseval’s theorem) 在傅里葉級數情況下的具體體現。
  • 含義: 週期信號平均功率 $=$ 直流和諧波分量平均功率之和。
  • 表明: 對於週期信號, 在時域中求得的信號功率與在頻率中求得的信號功率相等。

2.1.9. 頻帶寬度

• 在滿足一定失真條件下, 信號可以用某段頻率範圍的信號來表示, 此頻率範圍稱爲頻段寬度。

• 第一個零點 (例圖 FIG 2.1 $[-4\Omega, 4\Omega]$) 集中了信號 絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。

  例圖中 第一個零點以內各分量的功率佔總功率 約 90.3%

1. 一般把第一個零點作爲信號的頻帶寬度。記爲: $B_\omega = \frac{2\pi}{\tau}$ or $B_f = \frac{1}{\tau}$ 寬度與脈衝成反比。
2. 對於一般週期信號，將幅度下降爲 $\frac{1}{10}\lvert F_n\rvert _{\text{max}}$ 的頻率區間定義爲頻帶寬度。
3. 系統的通頻帶 $>$ 信號的帶寬，才能不失真。

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2.2. 傅里葉變換

$f(t) \longleftrightarrow F(j\omega)$
$F(j\omega) =\int^{\infty}_{-\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt = \mathfrak{F}\big[f(t)\big]$
$f(t) =\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega = \mathfrak{F}^{-1}\big[F(j\omega)\big]$

• $F(j\omega)$ 稱爲 $f(t)$ 的傅里葉變換

• $F(j\omega)$ 一般是複函數，寫爲
  $F(j\omega) = \lvert F(j\omega)\rvert e^{j\varphi(\omega)}$

• $\lvert F(j\omega)\rvert \sim \omega$ 幅度頻譜，頻率 $\omega$ 的偶函數

• $\lvert \varphi(\omega)\rvert \sim \omega$ 相位頻譜，頻率 $\omega$ 的奇函數

• Remark:

  1. 函數 $f(t)$ 的傅里葉變換存在的充分條件:
     $\int^{\infty}_{-\infty} \lvert f(t)\rvert dt < \infty$
  2. 下列關係還可方便計算一些積分:
     $F(0) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t) dt$
     $f(0) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F(j\omega) d\omega$

2.2.1. 常用函數的傅里葉變換

1. 單邊指數函數
   $\begin{aligned} f(t) = e^{-\alpha t} \varepsilon(t) = \begin{cases} e^{-\alpha t} \; & t>0 \\ 0 \; & t<0 \end{cases}\; \alpha>0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} F(j\omega) = \displaystyle \frac{1}{\alpha + j\omega} \end{aligned}$

2. 雙邊指數函數
   $\begin{aligned} f(t) = e^{-\alpha \lvert t\rvert} = \begin{cases} e^{-\alpha t} \; & t>0 \\ e^{\alpha t} \; & t<0 \end{cases}\; \alpha>0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} F(j\omega) = \displaystyle \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \end{aligned}$

3. 門函數(矩形脈衝) $g_\tau$
   $\begin{aligned} g_\tau(t) = \begin{cases}1 \; & \lvert t\rvert \leq \frac{\tau}{2} \\ 0 \; & \lvert t\rvert > \frac{\tau}{2} \end{cases} \end{aligned}$

$\begin{aligned} F(j\omega) = \tau \text{Sa} \Big\lgroup \displaystyle \frac{\omega\tau}{2} \Big\rgroup \end{aligned}$

4. 衝激函數 $\delta, \delta^\prime, \delta^{(n)}$
   $\begin{aligned} f(t) \longleftarrow& \longrightarrow F(j\omega) \\ \delta \longleftarrow& \longrightarrow 1 \\ \delta^\prime \longleftarrow& \longrightarrow j\omega \\ \delta^{(n)} \longleftarrow& \longrightarrow (j\omega)^n \end{aligned}$

5. 常數 1
   $\begin{aligned}1 \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi\delta{(\omega)} \end{aligned}$

6. 符號函數
   $\begin{aligned} \text{sgn}(t)\longleftarrow& \longrightarrow \frac{2}{j\omega} \end{aligned}$
   $\begin{aligned} \text{sgn}(t) = \begin{cases}-1 \; & t<0 \\ 1 \; & t>0 \end{cases} \end{aligned}$

7. 階躍函數 $\varepsilon$
   $\begin{aligned} \varepsilon(t)\longleftarrow& \longrightarrow \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \end{aligned}$
   $\begin{aligned} \varepsilon(t) = \begin{cases}0 \; & t<0 \\ 1 \; & t>0 \end{cases} \; = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \text{sgn}(t) \end{aligned}$

2.2.2. 性質

• 線性性質

  • if $f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega)$, $f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$
    then $a\cdot f_1 + b\cdot f_2 \leftrightarrow a\cdot F_1 + b \cdot F_2$

• 奇偶性

  • if $f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$
    then $f(-t) \leftrightarrow F(-j\omega)$

  若$f(t)$爲實偶函數, $F(j\omega)$爲實偶函數
  若$f(t)$爲實奇函數, $F(j\omega)$爲實奇函數

• 尺度變換

  • if $f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$
    then $f(\alpha t) \leftrightarrow \frac{1}{\lvert \alpha \rvert}F(j\frac{\omega}{\alpha}), \alpha$ 爲非零實數

  • $0<\alpha<1$ 時域擴展，頻帶壓縮

  • $\alpha>1$ 時域壓縮，頻域擴展 $\alpha$ 倍

  • Remark:

    • 信號的持續時間與信號佔有頻帶成反比，有時爲加速信號的傳遞，要將信號持續時間壓縮，則要以展開頻帶爲代價。

• 對稱性

  • if $f(t) \leftrightarrow F(j\omega), (\; t\to -\omega, \; \omega \to t)$
    then $F(j t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

• 時移性 $t_0$

  • if $f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$
    then $f(t \pm t_0) \leftrightarrow e^{\pm j \omega t_0}F(j\omega), \; t_0$ 爲實常數
  • if $F(j\omega) = \lvert F(j\omega)\rvert e^{j \varphi(\omega)}$
    then $f(t \pm t_0) \leftrightarrow \lvert F(j\omega)\rvert e^{j[\varphi(\omega)\pm \omega t_0]}, \; t_0$ 爲實常數
  • Remark:
    • 幅度頻譜無變化，隻影響相位頻譜，相移 $\pm \omega t_0$

• 頻移性 $\omega_0$

  • if $f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$
    then $e^{\mp j\omega_0 t}f(t)\leftrightarrow F\big[j(\omega\pm\omega_0)\big], \; \omega_0$ 爲實常數。
  • 頻移特性的實質是頻譜搬移，它是通信理論中信號調製與解調的理論基礎。
  • $\cos(\omega_0 t)$ 調製信號——載波
  • $\omega_0$ 調製頻率 —— 載頻

2.2.3. 卷積定理

• 時域卷積:

  • if $f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega), \;f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$
  • then $f_1(t) \star f_2(t) \longleftrightarrow F_1(j\omega) F_2(j\omega)$

• 頻域卷積:

  • if $f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega), \;f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$
  • then $\displaystyle f_1(t) f_2(t) \longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)\star F_2(j\omega)$

2.2.4. 微積分特性

• 時域微分:
  $f^{(n)} (t) \longleftrightarrow (j\omega)^n F(j\omega)$

• 時域積分:
  $\begin{aligned}\displaystyle \int^{t}_{-\infty} f(x) dx \longleftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{F(j\omega)}{j\omega} \\ F(0) = F(j\omega)\Big\vert_{\omega = 0} = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)dt \end{aligned}$

• 頻域微分:
  $(-jt)^n f (t) \longleftrightarrow F^{(n)}(j\omega)$

• 頻域積分:
  $\begin{aligned}\displaystyle \pi f(0)\delta(t) + \frac{f(t)}{-jt} \longleftrightarrow \int^{\omega}_{-\infty}F(jx)dx \\ f(0) = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(j\omega)d\omega \end{aligned}$

2.2.5. 能量譜

• 信號能量:

  • 信號(電壓或電流) $f(t)$ 在 $1\Omega$ 電阻上的瞬時功率爲 $\lvert f(t) \rvert^2$ , 在區間 $(-T,T)$ 的能量爲
    $\int^{T}_{-T} \lvert f(t) \rvert^2 dt$
  • 定義: 時間 $(-\infty, \infty)$ 區間上信號的能量。
    $E = \lim_{T\to\infty} \int^{T}_{-T} \lvert f(t) \rvert^2 dt$
  • 如果信號能量有限，即 $0<E<\infty$ ，稱爲能量有限信號，簡稱能量信號。

    例如門函數，三角形脈衝，單邊或雙邊指數衰減信號等。

• 帕什瓦爾方程 (能量方程) (Parseval’s theorem):
  $\begin{aligned} \displaystyle E & = \lim_{T\to\infty} \int^{T}_{-T} \lvert f(t) \rvert^2 dt \\ &= \int^{\infty}_{-\infty} \lvert f(t) \rvert^2 dt \\ &= \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} \lvert F(j\omega) \rvert^2 d\omega \\ \end{aligned}$

• 能量密度 $E(\omega)$

  • 定義: 單位頻率的信號能量。
  • 物理意義: 爲了表徵能量在頻域中的分佈情況而定義的能量密度函數，簡稱爲能量頻譜或能量譜。
    • 在頻帶 $df$ 內信號的能量爲 $E(\omega) df$, 因而信號在整個頻率區 $(-\infty,\infty)$ 的總能量爲：
      $E = \int^{\infty}_{-\infty} E(\omega) df = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} E(\omega) d\omega$
      $E(\omega) = \lvert F(j\omega) \rvert ^2$

2.2.6. 信號功率

• 信號功率
  • 定義: 時間 $(-\infty, \infty)$ 區間上信號 $f(t)$ 的平均功率。
• 複函數:
  $\displaystyle P \overset{def}{=} \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} \lvert f(t) \rvert ^2 dt$
• 實函數:
  $\displaystyle P \overset{def}{=} \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t) ^2 dt$
• 如果信號功率有限，即 $0<P<\infty$，信號稱爲功率有限信號，簡稱功率信號。如週期信號等。

  若信號能量 $E$ 有限，則 $P=0$ ;
  若信號功率 $P$ 有限，則 $E=\infty$

• 功率密度 功率譜
  • 定義: $\lvert F_T(j\omega)\rvert ^2/T$ 爲 $f(t)$ 的功率密度函數。
  • 解釋: 單位頻率的信號功率。
    $P(\omega) = \lim_{T\to\infty} \frac{\lvert F_T(j\omega)\rvert ^2}{T}$
  • 信號的功率譜 $P (\omega) $是 $\omega$ 的偶函數，它只取決於頻譜函數的模量，而與相位無關。
  • 單位: $W\cdot s$

2.2.7. 相關定理

• 相關函數

  • if $f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega), \;f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$
  • then
    $\begin{aligned}\displaystyle F\big[R_{12}(\tau)\big] &\longleftrightarrow F_1(j\omega) F_2^* (j\omega) \\ F\big[R_{21}(\tau)\big] &\longleftrightarrow F_1^*(j\omega) F_2 (j\omega)\end{aligned}$

• 自相關函數:
  $\begin{aligned}\displaystyle F\big[R(\tau)\big] = F(j\omega) F^* (j\omega)= \lvert F(j\omega)\rvert^2 \end{aligned}$

• 能量譜:
  $\begin{aligned} R(\tau) = \mathfrak{F}^-1 \big[ E(\omega)\big], & \; E(\omega) = \mathfrak{F} \big[ R(\tau) \big]\\ R(\tau) \longleftarrow& \longrightarrow E(\omega)\\ \int^{\infty}_{-\infty}f(t)f(t-\tau)dt \longleftarrow& \longrightarrow \lvert F(j\omega) \rvert ^2\end{aligned}$

  • 能量有限信號的能量譜 $E(\omega)$ 與自相關函數 $R(\tau)$ 是一對傅里葉變換。
  • 信號的能量譜 $E (\omega)$ 是 $\omega$ 的偶函數，它只取決於頻譜函數的模量，而與相位無關。單位：$J\cdot s$ 。

• 功率譜
  $\begin{aligned}\begin{cases} R_{12} (\tau) &= \displaystyle\lim_{T\to\infty} \big[ \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f_1(t)f_2(t-\tau)dt \big] \\ R_{21} (\tau) &= \displaystyle\lim_{T\to\infty} \big[ \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f_1(t-\tau)f_2(t)dt \big] \end{cases} \end{aligned}$
  $\begin{aligned} R (\tau) &= \displaystyle\lim_{T\to\infty} \big[ \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)f(t-\tau)dt \big]\end{aligned}$
  $\begin{aligned}\mathfrak{F} \big[R(\tau)\big]= \lim_{T\to\infty} \frac{\lvert F_T(j\omega)\rvert ^2}{T} = P(\omega) \\ \end{aligned}$

  • 維納-欣欽(Wiener-Khintchine)關係:
    $\begin{aligned}R(\tau) \longleftrightarrow P(\omega) \end{aligned}$
    • 功率有限信號的功率譜 $P (\omega)$ 與自相關函數 $R(\tau)$ 是一對傅里葉變換, 它們的關係 稱爲 維納-欣欽(Wiener-Khintchine)關係

2.2.8. Python 繪圖 白噪聲 white noise

• 對於隨機信號，由於不能直接用頻譜表示，但是可以利用自相關函數求其功率譜密度，藉助功率譜描述隨機信號的頻域特性。白噪聲是一種典型的隨機信號。
• **白噪聲(white noise)**是指功率譜密度在整個頻域內均勻分佈的隨機噪聲
• 通信中的白噪聲主要包含三類:
  1. 無源器件,如電阻、饋線等類導體中電子布朗運動引起的熱噪聲;
  2. 有源器件,如真空電子管和半導體器件中由於電子發射的不均勻性引起的散粒噪聲;
  3. 宇宙天體輻射波對接收機形成的宇宙噪聲。(其中前兩類是主要的)
• 例:
  • 白噪聲對所有的頻率其功率密度譜都是常數,
    $P_N(\omega) = N, \; -\infty < \omega < \infty$
    根據維納-欣欽關係，可得白噪聲的自相關函數,
    $R_N(\tau) = \mathfrak{F}^{-1}\big[P(\omega)\big] = N\delta(\tau)$
  • 可見，白噪聲信號的自相關函數是衝激信號，這表明白噪聲在各時刻取值雜亂無章，沒有任何相關性，因而對 $\tau \neq 0$ 的所有時刻 $R_N(\tau)$ 都爲 $0$ ，僅在 $\tau=0$ 時刻爲強度爲 $N$ 的衝激。
  • Remark: 白噪聲是一種理想化的信號模型，具有無限帶寬，實際不可能存在。因爲白噪聲的平均功率爲無窮大，這在物理上是不可實現的。
    $P = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} \text{P}(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} N d\omega \longrightarrow \infty$
  • 然而，白噪聲在數學處理上比較方便，因此它是系統分析的有力工具。不過在工程中，只要噪聲信號保持常數功率譜的帶寬遠大於它所作用線性系統的通頻帶，那麼即可將此噪聲視爲白噪聲。

  熱噪聲和散粒噪聲在很寬的頻率範圍內具有均勻的功率譜密度，通常可以認爲它們是白噪聲。

    NFFT = 1024 # NFFT爲取樣點數
    Fs=10000 # Fs爲取樣頻率
    t = np.linspace(0,(NFFT-1)/Fs,NFFT) # 時間
    y = np.random.randn(NFFT) # 產生高斯白噪聲，2*pi爲其功率
    plt.subplot(311)
    plt.plot(t,y)
    plt.grid(True)
    plt.title('White noise wave') # 白噪聲波形
    plt.subplot(312)
    cory = np.correlate(y,y,'full')[NFFT-200:NFFT+200+1]/NFFT # 自相關函數， cory爲自相關函數，
    lags = np.linspace(-200,200,401) # 自相關函數的長度 取[-200,200]
    plt.plot(lags,cory)
    plt.grid(True)
    plt.title('White noise correlate') # 白噪聲相關函
    plt.subplot(313)
    f = np.fft.fft(cory) # 對自相關係數進行傅里葉變換：即功率譜密度
    k = np.abs(f) # k是cory傅里葉變換的幅值
    fl = np.linspace(0,len(k)-1,len(k))*Fs/len(k) # fl爲f的長度。
    plt.plot(fl,k)
    plt.grid(True)
    plt.title('White noise power spectrum') # 白噪聲功率譜
    plt.subplots_adjust(top=1.4, wspace=0.4, hspace=0.5) # 調整視圖  
    plt.show()

2.2.9. 週期信號

• 正、餘弦信號的傅里葉變換

  • 已知
    $\begin{aligned}1 \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi\delta{(\omega)}\\e^{j\omega_0 t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi \delta (\omega - \omega_0) \\e^{-j\omega_0 t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi \delta (\omega + \omega_0) \end{aligned}$
  • 由歐拉公式和線性性質
    $\begin{aligned}\cos (\omega_0 t) \longleftarrow& \longrightarrow \pi \big[ \delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)\big] \\ \sin (\omega_0 t) \longleftarrow& \longrightarrow j\pi \big[ \delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)\big] \end{aligned}$

• 一般週期信號的傅里葉變換

  • 指數形式的傅里葉級數
    $f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\Omega t}$

  • 復傅里葉係數
    $\displaystyle F_n = \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn\Omega t} dt$

  • 傅里葉變換
    $F_T(j\omega) = \mathfrak{F} \big[f_T(t)\big] = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta (\omega- n\Omega)$

  • 週期信號 $f_T(t)$ 的頻譜由衝激序列組成:

    • 位置: $\omega = n \Omega$ (諧波頻率)
    • 強度: $2\pi F_n$ 或 $\Omega F_0(jn\Omega)$ (離散譜)
      

  • 週期信號f(t)也可看作一時限非週期信號f0(t)的週期拓展, 即:
    $f_T(t) = \delta_T(t) \star f_0(t)$

  • 可得公式:
    $\begin{aligned}F_T(j\omega) &= \Omega \delta_\Omega (\omega) F_0(j\omega) , \; \Big(\Omega = \frac{2\pi}{T}\Big) \\ &= \Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_0(jn\Omega) \delta (\omega- n\Omega)\end{aligned}$

  • 同時可得:
    $\displaystyle F_n = \frac{\Omega}{2\pi} F_0 (jn\Omega) = \frac{1}{T} F_0 \Big(j\frac{2n\pi}{T}\Big)$

2.3.0. 常用函數的傅里葉變換匯總

$\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow& \longrightarrow F(j\omega) \\ F(j t) \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi f(-\omega)\\ f(\alpha t) \longleftarrow& \longrightarrow \frac{1}{\lvert \alpha \rvert}F(j\frac{\omega}{\alpha})\\ a\cdot f_1 + b\cdot f_2 \longleftarrow& \longrightarrow a\cdot F_1 + b \cdot F_2 \\ f(t \pm t_0) \longleftarrow& \longrightarrow e^{\pm j \omega t_0}F(j\omega)\\ f(t \pm t_0) \longleftarrow& \longrightarrow \lvert F(j\omega)\rvert e^{j[\varphi(\omega)\pm \omega t_0]}\\ e^{\mp j\omega_0 t}f(t)\longleftarrow& \longrightarrow F\big[j(\omega\pm\omega_0)\big]\\ f_1(t) \star f_2(t) \longleftarrow& \longrightarrow F_1(j\omega) F_2(j\omega)\\ f_1(t) f_2(t) \longleftarrow& \longrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)\star F_2(j\omega)\\ f^{(n)} (t) \longleftarrow& \longrightarrow (j\omega)^n F(j\omega)\\ \int^{t}_{-\infty} f(x) dx \longleftarrow& \longrightarrow \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{F(j\omega)}{j\omega}\\ (-jt)^n f (t) \longleftarrow& \longrightarrow F^{(n)}(j\omega)\\ \pi f(0)\delta(t) + \frac{f(t)}{-jt} \longleftarrow& \longrightarrow \int^{\omega}_{-\infty}F(jx)dx\\ e^{-\alpha t} \varepsilon(t)\longleftarrow& \longrightarrow \frac{1}{\alpha + j\omega}\\ e^{-\alpha \lvert t\rvert} \longleftarrow& \longrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \\ g_\tau(t) \longleftarrow& \longrightarrow \tau \text{Sa} \Big\lgroup \displaystyle \frac{\omega\tau}{2} \Big\rgroup\\ 1 \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi\delta{(\omega)}\\ \delta \longleftarrow& \longrightarrow 1 \\ \delta^\prime \longleftarrow& \longrightarrow j\omega \\ \delta^{(n)} \longleftarrow& \longrightarrow (j\omega)^n \\ \varepsilon(t)\longleftarrow& \longrightarrow \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\\ \text{sgn}(t)\longleftarrow& \longrightarrow \frac{2}{j\omega}\\ R(\tau) \longleftarrow& \longrightarrow E(\omega)\\ \int^{\infty}_{-\infty}f(t)f(t-\tau)dt \longleftarrow& \longrightarrow \lvert F(j\omega) \rvert ^2\\ R(\tau) \longleftarrow& \longrightarrow P(\omega)\\ \lim_{T\to\infty} \big[ \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)f(t-\tau)dt \big] \longleftarrow& \longrightarrow \lim_{T\to\infty} \frac{\lvert F_T(j\omega)\rvert ^2}{T}\\ e^{j\omega_0 t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi \delta (\omega - \omega_0) \\ e^{-j\omega_0 t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi \delta (\omega + \omega_0) \\ \cos ( \omega_0 t )\longleftarrow& \longrightarrow \pi \big[ \delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)\big] \\ \sin (\omega_0 t) \longleftarrow& \longrightarrow j\pi \big[ \delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)\big] \\ f_T(t) \longleftarrow& \longrightarrow F_T(j\omega)\\ \delta_T(t) \star f_0(t) \longleftarrow& \longrightarrow \Omega \delta_\Omega(\omega) F_0(j\omega)\\ \delta_T(t) \star f_0(t) \longleftarrow& \longrightarrow \Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_0(jn\Omega) \delta (\omega- n\Omega)\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\Omega t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta (\omega- n\Omega) \\ \end{aligned}$

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