信號與系統(Python) 學習筆記 (6) 拉普拉斯變換 Laplace Transform

• 【總目錄】
  • (1) 簡介 Intro
  • (2) 傅里葉 Fourier
    • 常用函數的傅里葉變換匯總
  • (3) LTI 系統 與 濾波器
    • 二次抑制載波振幅調製接收系統 Python
  • (4) 取樣 Sampling
  • (5) 離散傅里葉 Discrete Fourier
  • (6) 拉普拉斯變換 Laplace Transform
    

6. 拉普拉斯變換

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6.1. 拉普拉斯變換 Laplace Transform

6.1.1 雙邊拉普拉斯變換的定義

• 有些函數不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。爲此，可用一衰減因 ${\color{blue}e^{-\sigma t}}$ (${\color{red}\sigma}$ 爲實常數）乘信號 $f(t)$, 適當選取 $\sigma$ 的值， 使乘積信號 $f(t) e^{-\sigma t}$ 當 $t\to \infty$ 時 信號幅度趨近於 $0$, 從而使 $f(t) e^{-\sigma t}$ 的傅里葉變換存在。
  $\begin{aligned}F_b ({\color{red}\sigma} + j \omega) & =\mathfrak{F}\big[ f(t) {\color{red}e^{-\sigma t} }\big] \\ & = \int^{\infty}_{-\infty}f(t) {\color{red}e^{-\sigma t}} e^{-j\omega t}dt \\ & = \int^{\infty}_{-\infty}f(t) e^{-({\color{red}\sigma} + j\omega)t} dt \end{aligned}$

• 相應的傅里葉逆變換爲:
  $f(t){\color{red}e^{-\sigma t}} = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F_b ({\color{red}\sigma} + j\omega) e^{j\omega t} d \omega$
  $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F_b ({\color{red}\sigma} + j\omega) e^{({\color{red}\sigma} +j\omega) t} d \omega$

• 令 ${\color{red}s = \sigma + j\omega}, \; d \omega = ds/j$ 有:
  $F_b ({\color{red}s}) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t) e^{-{\color{red}s}t} dt$
  $f({\color{red}t}) = \frac{1}{2\pi {\color{blue}j}} \int^{{\color{blue}\sigma+ j}\infty}_{{\color{blue}\sigma -j}\infty} F_b ({\color{blue}s}) e^{{\color{blue}s}{\color{red} t}} d {\color{blue}s}$

• $F_b(s)$ 稱爲 $f(t)$ 的雙邊拉氏變換（或象函數），

• $f(t)$ 稱爲$F_b(s)$ 的雙邊拉氏逆變換（或原函數）

6.1.2 收斂域

只有選擇適當的 $\sigma$ 值才能使積分收斂，信號 $f(t)$ 的雙邊拉普拉斯變換存在

• 收斂域：使 $f(t)$ 拉氏變換存在的 $\sigma$ 取值範圍。

• 例1: 因果信號 $f_1(t) = e^{\alpha t} \varepsilon (t)$, 求其拉普拉斯變換:
  $\begin{aligned}F_{1b}(s) & = \int^{\infty}_0 e^{\alpha t} e^{-st}dt\\& = \frac{1}{s-\alpha} \big[ 1-\lim_{t\to\infty} e^{-(\sigma-\alpha)t} e^{-j\omega t}\big] \\ & = \begin{cases}\frac{1}{s-\alpha} ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma > \alpha \\ 不定, \; &\mathcal{Re}[s] = \sigma = \alpha \\ 無界 ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma < \alpha \end{cases}\end{aligned}$

  • 可見，對於因果信號，僅當 $\mathcal{Re}[s]=\sigma>\alpha$ 時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。

• 例2: 反因果信號 $f_2(t) = e^{\beta t} \varepsilon (-t)$, 求其拉普拉斯變換:
  $\begin{aligned}F_{2b}(s) & = \int^0_{-\infty} e^{\beta t} e^{-st}dt\\& = \frac{-1}{s-\beta} \big[ 1-\lim_{t\to-\infty} e^{-(\sigma-\beta)t} e^{-j\omega t}\big] \\ & = \begin{cases}\frac{-1}{s-\beta} ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma < \beta \\ 不定, \; &\mathcal{Re}[s] = \sigma = \beta \\ 無界 ,\; &\mathcal{Re}[s] = \sigma > \beta \end{cases}\end{aligned}$

  • 可見，對於反因果信號，僅當 $\mathcal{Re}[s]=\sigma<\beta$ 時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。
    

• 例3: 雙邊信號
  $\begin{aligned}f_3(t) = f_1(t) + f_2(t) = \begin{cases}e^{\beta t}, & t<0 \\ e^{\alpha t} &t>0 \end{cases}\end{aligned}$

  • 僅當 $\beta > \alpha$ 其收斂域爲 $\alpha< \mathcal{Re} [s] <\beta$ 的一個帶狀區域，如圖所示。
    

• 雙邊拉氏變換必須標出收斂域。

• 對於雙邊拉普拉斯變換而言，$F_b(s)$ 和收斂域一起，可以唯一地確定 $f(t)$。即
  $f(t) \overset{\text{一一對應}}{\longleftrightarrow} F_b(S) + {\color{blue} \text{收斂域}}$

• 不同的信號可以有相同的 $F_b(s)$ ，但收斂域不同。

6.1.3 單邊拉氏變換的定義

• 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻爲座標原點。
• 這樣, $t<0$ 時, $f(t) = 0$。 從而拉氏變換式寫爲:
  $F(s) = \int^{\infty}_{0_-} f(t) e^{-st} dt$
  • 稱爲單邊拉氏變換。 簡稱拉氏變換。
  • 其收斂域一定是 $Re[s]>\alpha$ ，可以省略。
• $F(s) = \mathfrak{L}[f(t)]$
  $\mathfrak{L}[f(t)] = F(s) \overset{\text{def}}{=} \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-st} dt$
• $f(t) = \mathfrak{L}^{-1}[F(s)]$
  $\mathfrak{L}^{-1}[F(s)] =f(t) \overset{\text{def}}{=} \Big[\frac{1}{2\pi j} \int^{\sigma+ j\infty}_{\sigma -j\infty} F_b (s) e^{s t} d s\Big]\varepsilon(t)$
  ${\color{red}f(t)\overset{\text{1-to-1}}{\longleftrightarrow} F(s)}$

6.1.4 單邊拉氏變換與傅里葉變換的關係

$F(s) = \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-st} dt, \; \mathcal{Re}[s] >\sigma_0$
$F(j\omega) = \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-j\omega t} dt$

• 要討論其關係，$f(t)$ 必須爲因果信號:

• 根據收斂座標 $\sigma_0<0$ 的值可分爲以下三種情況:

  1. $\sigma_0<0$，即 $F(s)$ 的收斂域包含 $j\omega$ 軸，則 $f(t)$ 的傅里葉變換存在，並且
     $F(j\omega)=F(s)\big\vert_{s=j\omega}$

     • 如 $f(t) = e^{-2t} \varepsilon(t) \longleftrightarrow F(s) = 1/(s+2), \; \sigma >-2$
     • 則 $F(j\omega) = 1/(j\omega+2)$
       

  2. $\sigma_0=0$，即 $F(s)$ 的收斂邊界爲 $j\omega$ 軸，則
     $F(j\omega)=\lim_{\sigma\to0}F(s)$

     • 如 $f(t) = \varepsilon(t) \longleftrightarrow F(s) = 1/s$
     • 則
       $\begin{aligned} F(j\omega) &=\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sigma+j\omega}\\ & = \lim_{\sigma\to0} \frac{\sigma}{\sigma^2 + \omega^2} + \lim_{\sigma\to0}\frac{-j\omega}{\sigma^2+\omega^2} \\&= \pi \delta(\omega) +\frac{1}{j\omega}\end{aligned}$
       

  3. $\sigma_0>0$，即 $F(j\omega)$ 不存在。

     • 如 $f(t) = e^{2t} \varepsilon(t) \longleftrightarrow F(s) = 1/(s-2), \; \sigma >2$
     • 則其傅里葉變換 $F(j\omega)$ 不存在

6.1.5 常見信號的拉普拉斯變換

$\begin{aligned} \displaystyle \delta(t) \longleftarrow & \longrightarrow 1,\; \sigma > -\infty \\ \varepsilon(t)\longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s},\; \sigma > 0 \\ 1 \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s},\; \sigma >0 \\ e^{s_0 t} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s-s_0}, \; \sigma > \mathcal{Re}[s_0] \\ \cos(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t}}{2} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{s}{s^2 +\omega_0^2} \\ \sin(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{\omega_0}{s^2 +\omega_0^2} \\ f_T(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0} f_T(t) e^{-st} dt \\ \delta_T(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{1-e^{-sT}} \end{aligned}$

• 週期信號 $f_T(t)$ 解釋:
  $\begin{aligned}F_T(s) & = \int^{\infty}_0 f_T(t) e^{-st} dt \\ &= \int^{T}_0 f_T(t) e^{-st} dt + \int^{2T}_T f_T(t) e^{-st} dt + \cdots \\ & = \sum^{\infty}_{n=0} \int^{(n+1)T}_{nT} f_T(t) e^{-st} dt\end{aligned}$
  令 $t = t+nT$:
  $\sum^{\infty}_{n=0} e^{-nsT} \int^{T}_{0} f_T(t) e^{-st} dt = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0} f_T(t) e^{-st} dt$

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6.2. 拉普拉斯變換的性質

6.2.1 線性性質

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f_1(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_1 \\ f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_2 \\ a_1f_1(t) + a_2f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow a_1F_1(s) + a_2F_2(s) ,\;& \mathcal{Re}[s]>\max(\sigma_1,\sigma_2)\\ \end{aligned}$

6.2.2 尺度變換

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &{\color{red} 實數 \alpha >0} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(\alpha t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{\alpha}F(\frac{s}{\alpha}) ,\; &\mathcal{Re}[s]>\alpha\sigma_0\\ \end{aligned}$

6.2.3 時移性質

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s),\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0,\; &{\color{red} 實常數 t_0 >0} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(t-t_0){\color{red}\varepsilon(t-t_0)} \longleftarrow & \longrightarrow e^{-st_0} F(s) ,\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(\alpha t-t_0){\color{red}\varepsilon(\alpha t-t_0)} \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{\alpha} e^{-\frac{t_0}{\alpha} s} F(\frac{s}{\alpha}) ,\; &{\color{red} 實數 \alpha >0} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ \end{aligned}$

• 若 $f(t)$ 爲 因果信號,
  $f(t-t_0)\longleftarrow \longrightarrow e^{-st_0} F(s)$

6.2.4. 複頻移特性

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &{\color{red} 復常數 s_\alpha = \sigma_\alpha+ j\omega_\alpha} ,\; \mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f(t)e^{s_\alpha t} \longleftarrow & \longrightarrow F(s-s_\alpha),\; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0+\sigma_\alpha\\ \end{aligned}$

6.2.5. 時域微分特性

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ f^{\prime}(t) \longleftarrow & \longrightarrow sF(s)-f(0_-)\\ f^{\prime\prime}(t) \longleftarrow & \longrightarrow s^2 F(s)-sf(0_-)-f^{\prime}(0_-)\\\end{aligned}$

• 若$f(t)$爲 因果信號，則
  $f^{(n)} (t) \longleftarrow \longrightarrow s^n F(s)$

6.2.6. 時域積分特性

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ \int^{t}_{0_-} f(x)dx \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s}F(s)\\ \Big(\int^{t}_{0_-}\Big)^n f(x)dx \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{s^n}F(s)\\ f^{(-1)}(t) = \int^{t}_{-\infty} f(x)dx \longleftarrow & \longrightarrow s^{-1}F(s)+s^{-1}f^{(-1)}(0_-)\\\end{aligned}$

• 若$f(t)$爲 因果信號，則
  $f (t) \longleftarrow \longrightarrow \frac{F_n(s)}{s^n}$

6.2.7. 複頻域微分和積分

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(t) \longleftarrow & \longrightarrow F(s), \; &\mathcal{Re}[s]>\sigma_0\\ (-t) f(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{d F(s)}{ds}\\ (-t)^n f(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{d^n F(s)}{d s^n}\\ \frac{f(t)}{t} \longleftarrow & \longrightarrow \int^{\infty}_{s} F(\eta)d\eta\\ \end{aligned}$

6.2.8. 時域卷積定理

• 若 因果函數:
  $\begin{aligned} \displaystyle f_1(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_1 \\ f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_2 \\ f_1(t) \star f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s) \cdot F_2(s) ,\;& \mathcal{Re}[s]>\max(\sigma_1,\sigma_2)\\ \end{aligned}$

6.2.9. 複頻域卷積定理

• 若 因果函數:
  $\begin{aligned} \displaystyle f_1(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_1 \\ f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(s),\; & \mathcal{Re}[s]>\sigma_2 \\ f_1(t) \cdot f_2(t) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{1}{2\pi j} \int^{c+j\infty}_{c-j\infty} F_1(\eta) \cdot F_2(s-\eta)d\eta ,\;& \mathcal{Re}[s]>\max(\sigma_1,\sigma_2)\\ \end{aligned}$

6.2.10. 初值 終值 定理

初值定理和終值定理常用於由 $F(s)$ 直接求 $f(0+)$ 和 $f(\infty)$ ,而不必求出原函數 $f(t)$。

• 初值定理:

  • 設函數 $f(t)$ 不含 $\delta(t)$ 及其各階導數（即 $F(s)$ 爲真分式，若 $F(s)$ 爲假分式化爲真分式），則:
    $f(0_+) = \lim_{t\to0_+} f(t) = \lim_{s\to\infty} s F(s)$

• 終值定理:

  • 若 $f(t)$，當 $t\to \infty$ 時存在, 並且 $f(t) \leftrightarrow F(s)$ , $\mathcal{Re}[s]>\sigma_0$ , $\sigma_0<0$, 則:
    $f(\infty) =\lim_{s\to 0} sF(s)$

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6.3. 拉普拉斯反變換

$f(t) = \mathfrak{L}^{-1}[F(s)] \longleftrightarrow \mathfrak{L} [f(t)] = F(s)$

6.3.1. 拉普拉斯反變換

• 直接利用定義式求反變換—複變函數積分，比較困難。

• 通常的方法:

  1. 查表；
  2. 利用性質；
  3. 部分分式展開 --結合。

• 若象函數 $F(s)$ 是 $s$ 的有理分式, 可寫爲:
  ${\color{blue}F(s) = \displaystyle \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots +a_1s+a_0}}$

• 若 $m\geq n$ （假分式），可用多項式除法將象函數 $F(s)$ 分解爲
  ${\color{blue}有理多項式 P(s)+ 有理真分式}$
  ${\color{blue}F(s) = P(s) + \frac{B_0(s)}{A(s)}}$

• $P(s)$ 的拉普拉斯逆變換由衝激函數及其各階導數構成。

  • 例: $P(s)\to a_1 s^2 + a_2 s + a_3 \to a_1\delta^{\prime\prime}(t) + a_2 \delta^{\prime}(t) +a_3\delta(t)$

• 下面主要討論有理真分式。

6.3.2. 部分分式展開法

• 若 $F(s)$ 是 $s$ 的實係數有理真分式 $(m<n)$，則
  ${\color{blue}F(s) = \displaystyle \frac{B(s)}{A(s)} = \displaystyle \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots +a_1s+a_0}}$
  • 式中 $A(s)$ 稱爲 $F(s)$ 的 特徵多項式 (characteristic polynomial)，方程 $A(s)=0$ 稱爲 特徵方程，它的根稱爲 特徵根，也稱爲 $F(s)$ 的 固有頻率（或自然頻率）。$n$個特徵根 $p_i$ 稱爲 $F(s)$ 的 極點

1. $F(s)$ 爲單極點（單根）
   $F(s) = \displaystyle \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+ \cdots + \frac{K_i}{s-p_i}+ \cdots + \frac{K_n}{s-p_n}$
   $K_i = (s - p_i) F(s) \big\vert _{s=pi}$
   $\mathfrak{L}^{-1} \big[ \frac{1}{s-p_i} \big] = e^{p_i t} \varepsilon(t)$

   • 特例 $F(s)$ 包含共軛復根時 ($p_{1,2} = -\alpha\pm j\beta$):
     $\begin{aligned} F(s) &= \displaystyle \frac{B(s)}{D(s)[(s+\alpha)^2 + \beta^2]}\\ &= \displaystyle \frac{B(s)}{D(s)(s+\alpha-j\beta)(s+\alpha+j\beta)}\\ &= \displaystyle \frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}+F_2(s)\\ K_1 &= [(s+\alpha - j\beta)F(s)]\big\vert_{s=-\alpha +j\beta} \\ &= \lvert K_1\rvert e^{j\theta} \\ &=A+jB \\ K_2 &= K_1^* = \lvert K_1 \rvert e^{-j\theta} = A -jB\\ F_1(s) &= \displaystyle \frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}\\ & = \displaystyle \frac{\lvert K_1\rvert e^{j\theta}}{s+\alpha-j\beta}+\frac{\lvert K_1 \rvert e^{-j\theta}}{s+\alpha+j\beta}\\ f_1(t) &= 2 \lvert K_1\rvert e^{-\alpha t} \cos(\beta t + \theta) \varepsilon(t)\end{aligned}$
     $若 K_{1,2} = A \pm jB, \; f_1(t) = 2 e^{-\alpha t} [A \cos(\beta t) - B \sin(\beta t) ] \varepsilon(t)$

2. $F(s)$ 有重極點（重根）

   • 若 $A(s) = 0$ 在 $s=p_1$ 處有 $r$ 重根,
     $F(s) = \displaystyle \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{K_{11}}{(s-p_1)^r}+ \frac{K_{12}}{(s-p_1)^r}+ \cdots + \frac{K_{1r}}{(s-p_1)^r}$
     $K_{11} = \displaystyle [(s - p_1)^r F(s)] \big\vert _{s=p1}$
     $K_{12} = \displaystyle \frac{d[(s - p_1)^r F(s)]}{ds} \big\vert _{s=p1}$
     $K_{1i} = \displaystyle \frac{1}{(i-1)!} \frac{d^{i-1}}{ds^{i-1}}[(s - p_1)^r F(s)] \Big\vert _{s=p_1}$
     $\mathfrak{L}[t^n \varepsilon(t)] = \frac{n!}{s^{n+1}}$
     $\mathfrak{L}^{-1}\big[\frac{1}{(s-p_1)^{n+1}}\big] = \frac{1}{n!} t^n e^{p_1 t} \varepsilon(t)$

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