【信號與系統學習筆記】【課程終章】—— 離散傅里葉變換的擴展：z 變換分析2

上文中，我們學習了《信號與系統》的第十章——z變換。這是我們學院教學大綱所要求的最後一章內容。因此，這將是本系列專欄的最後一篇課程筆記啦！但是文章卻不止於此，平時關於信號與系統的一些思考我也會繼續發上這個專欄的噢！那麼下面我們先回顧一下關於z變換，我們之前都說了啥：

1. 常見的z變換對

【1】必須要記得的兩個z變換對：$a^nu[n]$ 的z 變換爲：$\frac{1}{1 - az^{-1}}$，ROC爲：$|z| > |a|$
【2】$-a^nu[-n-1]$ （左邊信號），它的z變換爲：$\frac{1}{1 - az^{-1}}$，ROC爲：$|z| < |a|$

2. ROC 的性質

另外，我們還學習了左邊、右邊、雙邊信號和他們的ROC所應該具有的特徵；

3. z變換的性質

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那麼，本次博客我們將會探討以下幾點：1. z變換的ROC和系統性質之間的關係 2. 系統的框圖描述 3. 單邊z變換

一、z變換與系統的聯繫

1.1 z變換的ROC與系統因果性的關係

大家記憶：如果說一個系統，它的系統函數的z變換的ROC位於最外層極點的外面，同時ROC還包含了無窮遠點時，那麼這個系統就是因果的。 這裏的"ROC還包含了無窮遠點"，它的意思就是：$∞$ 不能是 H(z) 的極點。那麼什麼時候$∞$ 不是 H(z) 的極點呢？—— 如果 H(z) 表示成了多項式之比的形式，且分母項的階次大於等於分子項的階次時，$∞$ 不是 H(z) 的極點，相反，此時$∞$ 是 H(z) 的零點。

1.2 z變換的ROC與系統穩定性之間的關係

我們知道，一個系統要想是穩定的，在時域上需要滿足下面這個條件：$\sum_{n=-∞}^{+∞}h[n] < ∞$

這不僅僅說明了系統函數絕對可和，他也說明了系統函數的傅里葉變換一定存在。 那麼，到了z域，也是類似的，如果系統函數的z變換的ROC包含了單位圓，我們就可以判斷這個系統是穩定的。

1.3 系統結構與H(z)的關係

同樣地，我們目前所瞭解的系統基本結構包括——級聯、並聯和反饋。我們下面分別來看看：

在時域中，系統級聯我們用卷積來描述：$h_1[n]*h_2[n]$
在頻域中，系統級聯我們用乘積來描述：$H_1(e^{jω})H_2(e^{jω})$
那麼在複數域裏面，我們同樣也是用乘積來描述：$H_1(z)H_2(z)$

在時域中，系統級聯我們用相加來描述：$h_1[n]+h_2[n]$
在頻域中，系統級聯我們也用相加來描述：$H_1(e^{jω})+H_2(e^{jω})$
那麼在複數域裏面，我們同樣也是用相加來描述：$H_1(z)+H_2(z)$

對於反饋系統，我們直接構造 $\frac{Y(z)}{X(z)}$ ，消除中間變量即可。我們來試試：
首先，反饋的輸出我們知道是：$Y(z)G(z)$，那麼就有：$X(z) - Y(z)G(z) = X_1(z)$，有因爲：
$X_1(z)H_1(z) = Y(z)$，聯立上面兩個式子，將中間量 $X_1(z)$ 消掉即可。

二、系統的框圖描述

我們知道，對於離散時間系統而言，常常用差分方程來描述。因此我們約定：在框圖裏面就只能用：加法器、乘以係數和$z^{-1}$（等價於延時一個單位時間）

另外框圖也分爲直接型框圖、級聯型框圖和並聯型框圖。我們在考試時要按照題目要求畫出對應的圖。我們下面介紹一下；

分別畫出下面這個系統函數

的直接型框圖、級聯型框圖和並聯型框圖

對於初學者而言，也許需要先把差分方程給寫出來：$y[n] = \frac{1}{4}y[n-1] - \frac{1}{8}y[n-2] = x[n]$
即：$y[n] = x[n] - \frac{1}{4}y[n-1] + \frac{1}{8}y[n-2]$
因此，我們就可以畫出直接型：

下面給大家支一招：直接型的通法：

如果題目給出的多項式比，少了哪一項，我們就可以把哪一項的線給它抹去。

下面是級聯型的畫法：

如果要改成並聯型，則需要做部分分式展開，框圖如下：

三、單邊z變換

單邊z變換，顧名思義就是求和區間是$[0, +∞]$。如果信號只是在 $[0, +∞]$ 有值，那麼雙邊z變換和單邊 z 變換的結果是一樣的。如果信號在 $n < 0$ 時還有值，那麼兩者的結果就不一樣了。

另外值得注意的一點是單邊z變換的時移特性：
【1】若 $x[n]$的單邊z變換爲：$X(z)$，那麼$x[n-1]$ 的單邊z變換爲：$z^{-1}X(z) + x(-1)$、
【2】若 $x[n]$的單邊z變換爲：$X(z)$，那麼$x[n+1]$ 的單邊z變換爲：$z^{1}X(z) + zx(0)$

根據單邊z變換的這個性質，我們系統的輸出往往就可以分爲——零輸入響應和零狀態響應了。

終於歸納完啦！這一個學期由於疫情的影響變得非常特殊。天天坐在家裏，對着博客的頁面打字也是一件需要耐得住寂寞的事情哈哈。非常慶幸自己堅持了下來，沒有在做前幾次筆記之後就打退堂鼓。就因爲這樣纔有了這一片博客的尾聲。在此也對閱讀我專欄的同學們說一聲——加油！！未來可期！