【你也能看得懂的電磁場與電磁波系列連載 20】

在上一篇連載裏面，我們證明了爲什麼：

同時也得到了 $Maxwell$ 方程中描述電場和磁場公式的微分形式：

---

那麼在今天的連載裏面，我們重點想看看閉合曲線的線積分應該如何變成微分形式。

我們回顧一下我們對閉合曲面的面積分的微分處理——我們讓閉合曲面 S 不斷縮小，那麼意味着閉合曲面 S 所包圍的體積也是不斷趨於0. 然後我們再同時除以閉合曲面 S 所包圍的體積 $△V$，就得到了通量源密度。

那麼對於閉合曲線的線積分也是一樣的處理—— 我們讓閉合曲線 C 不斷縮小，那麼意味着閉合曲線 C 所包圍的面積也是不斷趨於0，然後我們再除以這個閉合曲線所包圍的面積 $△S$，那麼就可以得到：

上面這個式子我們定義爲環量面密度。因爲環量面密度是一個標量，所以我們定義：

其中，$rot\bar{E}$表示電場 $\bar{E}$ 的旋度，$\bar{n}$ 表示這個閉合曲線 C 所包圍的面積的單位法向矢量。如下圖所示：

不過在電磁感應裏面，一般我們遇到的暫時是旋度方向和$\bar{n}$ 一致的。

下面我就直接給出旋度的計算公式（證明也是很類似的就不再贅述）：

---

下面我們就繼續開始推導 $Maxwell$ 剩下的兩個方程的微分形式：
首先是電生磁的方程：

對於方程的左邊，我們構造：

因爲除了一個 $△S$，所以式子的右邊自然也要除以一個 $△S$，那麼自然就剩下被積表達式了。因此，我們得到電生磁的微分形式如下：

---

下面就剩下磁生電的方程啦：

有了剛剛的基礎，我們這裏可以直接寫出它的微分形式：

---

至此，我們就成功地推導出了 $Maxwell$ 方程的微分形式，我們來一睹它的全貌：

順帶一提的是，因爲我們 $Maxwell$ 方程講的是時變電磁場，然而時變電磁場的邊界方程和靜電場、靜磁場的是完全一樣的。直接板過來就OK了。

好啦！今天的連載就要告一段落啦，留下一個問題：我們現在雖然說是討論的時變場，但是時變的範圍可大了去 了，電磁場隨時間怎麼變化都行；但是真實情況是：我們需要讓電磁場可以攜帶信息，那麼最常見的就是正弦和餘弦變化，那麼在後續的連載裏面，我們將把重心轉移到時諧變電磁場的研究。