【Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave】2 —— 透徹理解梯度、散度與旋度

一、標量場的梯度

1.1 從等值面與方向導數說起

方向導數（標量） 的計算：比如說我們給出了一個標量場函數：$u(x, y, z)$，下面要計算這個標量場內一點 $M_0$ 處的方向導數，計算公式是這樣的：$\frac{\partial{u}}{\partial{l}} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}cosα + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}cosβ + \frac{\partial{u}}{\partial{z}}cosγ$
方向導數反應的是在標量場裏面，從 $M$ 點開始沿着某一方向 $\overrightarrow{l}$ 距離的變化率。

那麼，如果我們知道了方向 $\overrightarrow{l}$，是需要會計算方向餘弦的。計算方法是：比如我們要計算 $cosα$，（也即是 $x$ 方向的方向餘弦）那麼我們就用向量 $(1, 0, 0)$ 去我們的方向向量 $\overrightarrow{l}$ 做點乘運算，就可以把 $cosα$ 求出來。

1.2 梯度的意義與計算

梯度，他是一個矢量。它的計算公式如下：$\overrightarrow{grad \space u} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\overrightarrow{a_x} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\overrightarrow{a_y} + \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\overrightarrow{a_z}$

如果當 $\overrightarrow{l}$ 和梯度的方向一致，那麼就表示是場函數 $u(x,y,z)$ 變化最快的方向，最大變化率就是梯度的模值：$|\overrightarrow{grad \space u} | = \sqrt{\frac{\partial{u}}{\partial{x}}^2+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}^2+\frac{\partial{u}}{\partial{z}}^2}$

而標量場沿着任意方向的方向導數就等於梯度在這個方向上的投影！，表示爲：$\frac{\partial{u}}{\partial{l}} = \overrightarrow{gradu} \sdot \overrightarrow{a_l}$

二、矢量場的散度

2.1 從通量說起

首先，什麼是通量呢？—— 簡單點說，就是單位時間內通過某一面積的曲面的量。

我們以下面這個不封閉的曲面爲例：我們可以將這個大麴面（設面積爲 $S$）分割成若干個子區域對吧，每一個子區域的面積是 $dS$，$dS$ 曲面的單位法向矢量是 $\overrightarrow{a_n}$。這裏還需要說明一件事情：

對於不封閉的曲面來說，其單位法向矢量與曲面構成右手螺旋定則。因此，下圖中的 $\overrightarrow{a_n}$ 方向向上

通過 $dS$ 面的量，我們可以用 $\overrightarrow{A}$ • $\overrightarrow{a_n}$表示，那麼根據積分的定義，通過整個面積爲 $S$ 的曲面的量就可以表示成$Φ=\iint_S\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_n} \space dS\tag{1}$
其中，$\overrightarrow{A}$ • $\overrightarrow{a_n}$表示矢量 $\overrightarrow{A}$ 在$\overrightarrow{a_n}$方向上的投影。那麼，類似地，如果這個曲面是面積爲 $S$ 的閉合曲面，那麼有$Φ = \oiint_S\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_n} \space dS\tag{2}$
式（1）、（2）就是我們所說的通量了！注意：從上式的形式可以看出：通量是個標量！

2.2 散度及其推導

下面我們就想啊：假如是閉合曲面，講道理淨通量 $Φ$ 應該是 0，也就是說進入閉合曲面的矢量線有幾條，那麼穿出去的應該也是多少條。但是，常常會有下面的情況：

1. 如果 $Φ >0$ ，說明這個閉合曲面內部還有一個“發射”的東西（我們稱之爲能量正源），使得穿出曲面的矢量線條數增加了。
2. 如果 $Φ >0$ ，說明這個閉合曲面內部還有一個“吸收”的東西（我們稱之爲能量負源），它會吸收穿入曲面的一些 “能量”（矢量線），使得穿出曲面的矢量線條數減小了。

如果我們再定義一個通量源密度，也就是單位體積內的通量大小。$\frac{\oiint_S\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_n} \space dS}{V}$
當我們將曲面所包圍的體積逐漸縮小的時候，曲面也漸漸逼近通量源，當 $V\to0$時，若極限存在，我們就定義這個極限就是我們所說的散度：$div\overrightarrow{A} = \lim_{V\to0}\frac{\oiint_S\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_n} \space dS}{V}$
這就是散度的定義。說明：散度也是一個標量！

但是，在應用過程中，使用定義式直接計算散度相當麻煩，我們下面給出一個更好用的式子：
先看下面的情況：

我們看這個長方體的最左下角的 $M$，定義 $M(x, y, z)$，長方體的長寬高分別是 $△y, △x, △z$

在 $M$ 點處的矢量爲：$\overrightarrow{A} = A_x\overrightarrow{a_x}+A_y\overrightarrow{a_y}+A_z\overrightarrow{a_z}$ 這裏特別注意：$A_x, A_y,A_z$都是 $(x,y,z)$ 三者的函數！

我們下面先看看長方體前面的通量：$\oiint_{S1}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{front}} dS = \oiint_{S1}A_xdS = A_x(x+△x, y, z)△y△z$
下面，我們回憶一下泰勒公式是怎麼用的，下面是 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的泰勒展開：$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots$
那麼，類似地使用變量代換，將上式的 $x$ 代換成 $x+△x$，$x_0$ 換成 $x$，$f()$函數使用 $A_x()$替換，得：$A_x(x+△x,y,z) =A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 A_x(x,y,z)}{\partial x^2}△x^2+\cdots$
因此，我們可以得到一個近似表達：$A_x(x+△x,y,z) ≈ A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x$

因此，前面的淨通量就近似表示成：$\oiint_{S1}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{front}} dS ≈A_x(x,y,z)△y△z+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z$
那麼，我們再看看後面得通量：由於 $A_x\overrightarrow{a_x}$ 的方向是沿着 $x$ 軸的正方向，因此與 $\overrightarrow{a_{back}}$ 的方向相反，那麼得到的通量結果是：$\oiint_{S2}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{back}} dS = -A_x(x,y,z)△y△z$

那麼，我們就可以得到前後兩個面的淨通量：$\begin{aligned} Φ_{front} + Φ_{back} &= A_x(x,y,z)△y△z+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z - A_x(x,y,z)△y△z\\ &=\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z \end{aligned}$

那麼，如果我們求出前後左右上下六個面的淨通量，就可以表示成：$Φ_{total} = \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}△x△y△z + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}△x△y△z$
令體積微元 $△V = △x△y△z$，因此得到閉合曲面淨通量表達式：$Φ_{total} = \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△V + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}△V + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}△V$
把它重新帶入散度的定義式，我們就可以得到散度的計算公式：$\begin{aligned} div\overrightarrow{A} &= \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}\\ &=\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{aligned}$

1. $div\overrightarrow{A} > 0$：則表示該點處有一個正源（發射矢量線）
2. $div\overrightarrow{A} < 0$：則表示該點處有一個負源（吸收矢量線）
3. $div\overrightarrow{A} = 0$：則表示該點沒有場源

下面我們定義一個以後非常常用的算子：$\triangledown$算子：(矢量微分算子）$\triangledown = \frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{a_x} + \frac{\partial}{\partial y}\overrightarrow{a_y} + \frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{a_z}$

因此，散度就可以表示成：$div\overrightarrow{A} = \triangledown \sdot \overrightarrow{A}$，散度表示矢量場內一點的吸收或者輻射程度

2.3 高斯散度的定理

三、矢量場的旋度

3.1 先從環量說起：

先看看下面的 （a）圖，考慮這樣一個 $\overrightarrow{A}$ 的矢量場。我們舉一個具體的例子：比如說這個一個“風”場，裏面每一點的向量的方向代表該點處風力的方向，矢量長度代表該點風力大小。

假如這是由龍捲風組成的強大的場，那麼試想一下在這個風暴場裏面如果有一個飄零的線圈 $c$，我們可以想象得出來，這個線圈將會收到風力的影響而旋轉。那麼，如何描述這個線圈 $c$ 所受到的風力大小呢？

我們先從線圈的一個點開始計算：

假設在線圈上一點 $M$，這個點處線圈的方向是 $\overrightarrow{dl}$，風力場在 M 點的矢量方向是 $\overrightarrow{A}$，我們知道，只有切線上的力會導致物體旋轉，因此，我們也考慮風力在切線方向的作用：$\overrightarrow{A}$ 在 $\overrightarrow{dl}$ 方向上的投影恰好就是風力在切線方向的大小。

因此，在這一個點 M 上，所受到的風力大小就是：$\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{dl}$
那麼，整個線圈收到的風力大小就是：$\oint_c\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{dl}$

而其實，如果我們假設這個線圈 $c$ 內部存在一個渦旋源，我們現在還想研究這個渦旋源的強度：

因此，和推導散度類似的辦法，假設線圈的面積是 S，如果令 S 無限趨近於0，就可以縮到如圖（b）所示的一個點 M，我們有：$\lim_{S\to 0}\frac{\oint_c\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{dl}}{S}$
這個叫做矢量場 $\overrightarrow{A}$ 在點 M 處沿着方向 $\overrightarrow{n}$ 處的環量面密度。

欸？？？按照類比的思路，這裏的形式不應該是旋量嗎？——但是你別忘了，旋量是一個矢量，它還有方向。開始，經過 M 點的平面有無窮多個，那麼方向也就是無窮多個。顯然不符合旋量的定義。

如圖，假設我們的磁場 $\overrightarrow{B}$ 的方向是沿着豎直軸逆時針旋轉的，那麼經過中心點取的一個平面，假設這個平面和磁場方向平行，那麼 $\overrightarrow{B}$ 在該點處沿着該面方向的環量面密度最大。

因此，我們定義環量面密度最大的時候，環量面密度的模值就是旋量的模值，該環線所圍的面積的法向就是旋量的方向。記爲：$rot\overrightarrow{A}$

公式就直接給出來：$rot\overrightarrow{A} = \triangledown × \overrightarrow{A}$
即：$rot\overrightarrow{A} = \triangledown × \overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} \overrightarrow{a_x} & \overrightarrow{a_y} & \overrightarrow{a_z}\\ \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial x}\\ \\ A_x & A_y & A_Z \end{bmatrix}$

四、梯度、旋度、散度的關係

1. 旋度的散度等於0：$\triangledown \sdot (\triangledown ×\overrightarrow{A}) = 0$
2. 梯度的旋度等於0：$\triangledown × (\triangledown u) = 0$

在這篇 $Blog$ 的最後，再簡單說明一個問題：$\triangledown$ 這個算子叫做”矢量微分算子”，也就是說，它既具有矢量的性質，又具有微分的性質（比如複合函數求導法則），我們舉兩個例子：
【1】$\triangledown{(uv)}$，這時， $\triangledown$ 具有微分的性質，我們可以看成是對 $uv$ 求導，因爲 $uv$ 是一個複合函數，因此就有：$u\triangledown{v} + v\triangledown{u}$

【2】因爲向量有下面這個性質：$\overrightarrow{A}\sdot (\overrightarrow{B} × \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{B}\sdot (\overrightarrow{A} × \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{C}\sdot (\overrightarrow{A} × \overrightarrow{B})$
所以，$\triangledown$ 也有這樣的性質：$\triangledown\sdot (\overrightarrow{B} × \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{B}\sdot (\triangledown × \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{C}\sdot (\triangledown × \overrightarrow{B})$
這時我們要把 $\triangledown$ 當成矢量看待。