【你也能看得懂的電磁場與電磁場系列連載 11】

在上一篇連載裏面知道了如何計算線電流在周圍產生的磁場，那麼，如果電流的分佈不是線，而是體分佈或者是面分布，那怎麼辦呢？這裏我們將引入體電流密度和線電流密度。

---

我們先畫一個連載的功夫弄明白什麼是電流密度，因爲這個概念在磁場以及後續電生磁中將會經常用到。

首先，我們看看在電路理論裏面關於電流的定義—— 電流是單位時間內通過某一橫截面積的電量。

我們知道：導體中可以傳導電流，那麼後面我們先以導體爲例。那麼導體又可以有很多形態了 —— 比如說：體、面和線。 如下圖所示：

那麼，我剛剛不是說——電流是單位時間內通過某一橫截面積的電量。那麼，體形態的導體，其橫截面就是一個面、面形態的導體其橫截面就是一條線；而線形態的導體其橫截面就是一個點。

而我們再看看電流密度的概念：電流密度矢量是垂直於電流方向的單位橫截部分上穿過的電流。這裏我們再把概念拆解一下—— 電流可能流於體導體、面導體和線導體；那麼對應的橫截面就是：面、線和點；那麼單位橫截部分就對應着：單位面、單位線距離和一個點。

---

既然有了這樣的理解，那麼下面我們先以體電流爲例子：

這個上面那個體形態的導體的橫截面。下面看一下立體圖：

因爲橫截面是一個面，那麼我們可以取一個小的面積元 $△S$，當這個微元面積趨於0時，那麼也就相當於趨近一個點了。那麼到底有多少電流從導體內部穿出了這個微元面呢？—— 這又是通量的概念了！

對於體形態的導體而言，電流密度準確的說應該是體電流密度。體電流密度的大小是垂直於 $\bar{J}$ 的單位面積上穿過的電流。那麼穿過面積爲 $△S$ 的電流數就應該是：

其中，$\bar{dS} = \bar{n} \sdot dS$，$\bar{n}$ 是那個小面積的單位法向。那麼很自然地，這個橫截面 S 上的總電流就可以寫成：

那麼，既然電流是運動電荷而產生的，那麼體電流也必然可以用運動電荷來描述：

這個圓柱是我在上面那個體型導體裏面取出來的一個小的微元體積。那麼在單位時間內穿過這個微元的電荷的數目就是：$dq = ρ_vvdtdS$
那麼很自然，$dI = \frac{dq}{dt} = ρ_vvdS$

因爲對於體電流密度而言，是衡量穿過垂直於電流方向的單位面積的電流。故：$J = \frac{dI}{dS} = ρ_vv$
那麼矢量形式就是：$\bar{J} = ρ_v\bar{v}$

---

搞明白了體電流密度，下面我們來看面電流密度
有了體電流密度的概念，面電流密度也很好理解了—— 所謂面電流，就是電流是在一個厚度可以忽略不記的導體面上流動的，那麼這個導體的橫截部分就是上圖中的黃色部分——是一根線！

而面電流密度，就是在這條線上，單位長度內流過的電流。

那麼，在這個黃線上一小段線微元 $dl$ 內通過的電流就可以表示爲：$dI = \bar{J_{s}} \sdot \bar{dl}$
那麼總的面電流就可以用線積分表示：
$I = \int_l \bar{J_s} \sdot \bar{dl}$

同理，我們也可以用運動電荷的思路計算面電流：$J_s = ρ_{vs} \sdot v\\ \quad\\ \bar{J_s} = ρ_{vs} \sdot \bar{v}$
其中，$ρ_{vs}$表示運動電荷的面密度。

---

至於線電流，因爲他的橫截部分就是一個點了，那麼是沒有對應的所謂 “線電流密度” 的。我們就只能通過運動電荷的觀點來計算線電流，即：$I = ρ_{vl} \sdot v$

---

好啦！瞭解了體電流密度和麪電流密度之後，理論上我們就可以利用比奧-薩法爾定理計算任意分佈的磁場了：

但是大家注意到了嗎 —— 這樣的計算都涉及到了積分運算，頗爲複雜，那麼有沒有更加簡便的方法計算磁場呢？那麼在下一個連載裏面，我們就詳細地介紹安培環路定理。