【你也能看得懂的電磁場與電磁波系列連載 16】

在上一個連載裏面，我們成功推導出了 $Maxwell$ 方程的積分形式，一共有四個方程，分別描述電生磁、磁生電、磁場和電場，我們再來回顧一下：

那麼，在後續的幾個連載裏面，我們將會看看 $Maxwell$ 方程組的微分形式，到時候我們將會感嘆科學家們偉大的創造力！首先，我們需要引入微分形式裏面的重要人物——矢量微分算子。在此之前，我們先來看看什麼是方向導數和梯度 ：

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在一元函數裏面，我們知道可以用導數反應函數的變化率：

所謂導數，定義就是：

我們看第一張圖：$dx = △x$這個沒問題，但是我們發現，其實$dy$ 並不等於$△y$ 。但是他們倆很接近。在一元函數裏面，我們可以這樣表示 $△y$：$△y = y'(M) △x + o(△x)$
其中，$y'(M) = \frac{dy}{dx}$，那很顯然，$y'(M) △x$ 就等於 $dy$，而我們剛剛不是說其實$dy$ 並不等於$△y$嘛，他們之間還差了那麼一小段長度，這個很小的長度我們用 $o(△x)$ 表示 。如果這個高階無窮小量 $o(△x)$ 咱們可以忽略不計，那麼函數在 $△x$ 上的值的變化 $△y$ 我們就可以近似地寫成：$△y ≈ y'(M) △x \tag{1}$

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那麼，現在我們推廣到二元函數，即型如：$f(x, y)$。

在剛剛的討論裏面我們知道，對於一元函數，因爲他只有 $x$ 這一個自變量，所以我們很自然可以用：$\frac{dy}{dx}$來表示函數 $y(x)$ 沿着x軸方向變化的快慢。

但是對於二元函數呢，直接用 $\frac{df}{dx}$ 麼？好像不太對，因爲我們 $f(x, y)$ 是一個關於x和y的二元函數，它的變量有兩個，你這樣直接 $\frac{df}{dx}$ 合適麼？

但是，如果我在考慮x軸方向的時候，把y看作一個常數，也就是把y軸固定住，這樣函數 $f(x, y)$ 就只跟x相關了，於是我們就把一個二元函數（曲面）變成了一個一元函數（曲線）那麼此時 $f(x,y)$ 對x的求導就可以反應在 x 方向的變化率。同理，在考慮 $y$ 方向時，把 x 固定住，這樣函數就只跟 y 相關了，那麼此時 $f(x,y)$ 對y的求導就可以反應在 y 方向的變化率

這就是偏導數的由來。

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下面，我們以一個二元函數爲例，在二元函數上找一點 A ，過A 點分別平行於 $xoz$ 和 $yoz$ 的平面（即分別把 $y$ 和 $x$ 固定）那麼這兩個平面截得的 $f(x,y)$ 的圖像就是兩根曲線了：

那麼，偏導數就是兩根曲線在 A 點處的切線，我們把他畫出來：

這兩根切線是共面的（事實上我們發現在 A 點是不是可以做無數條曲線，而這無數條曲線，每一條都會有自己的切線，巧合的是這所有的切線都是共面的！！）那麼，我們先把上面這兩條切線 $u, v$ 所在的平面畫出來（這個平面也是所有經過A 點曲線的切線所在的平面）

那麼有趣的事情就來了：在一元函數裏面，我們不是可以用一點附近的切線代替 A 點附近的曲線嘛，那麼在二元函數裏面，我們就可以用 一點附近的切平面來代替一點來代替一點附近的曲面了

那麼回顧我們在一元函數裏面的表達：$△y ≈ \frac{dy}{dx} △x \tag{1}$

那麼在二元函數裏面，我們就可以寫成：

這就是二元函數的全微分公式，那麼繼續推廣到更高維也是類似的表達式。

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說了半天爲啥要講全微分呢，這是爲了引入方向導數和梯度的概念。大家記得我們最後推出來的這個式子，我們在下一個連載裏面將會學習方向導數和梯度，並且引入矢量微分算子