在上一個連載裏面，我們成功得到了 方程組的微分形式。同時我們也知道：在時變場裏面，電場和磁場之間相互激發、相互轉換，並且將會以波的形式在空間中運動和傳播。我們現在其實已經踏入了電磁波的大門了！那麼在今天的連載裏面，我們就來看看電磁相互轉換的過程中能量有什麼關係。
我們今天要討論的是坡印廷定理，別被這高大上的名字嚇着了，其實它就只是描述了電磁場裏面的能量守恆罷了。
我們想：爲什麼電磁波可以傳輸能量呢？這裏先給一個直觀的印象：因爲我們現在描述的是時變場，當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量的流動
首先，我們假設現在空間中有一束電磁波：
這束波是沿着圖中的黑色箭頭方向傳播的。我們現在要讓這個電磁波射進一個很大的封閉曲面（面積爲 S，體積爲 V）裏面。
那麼，我們想啊，在高中我們學習能量守恆的時候，不是經常說：什麼什麼能量轉化爲了什麼什麼能量+熱量，諸如此類。那麼這裏電磁波的入射，能量的變化我們應該怎麼描述呢？
那首先還得看入射之後都能產生些什麼能量呢？首先最容易想到的就是這個 體積 V 裏面將會增加電能和磁能。 這部分能量怎麼表示呢？
我們都知道，電場和磁場的能量密度表達式爲：
那麼很自然，電磁場的能量密度就是：。這是微觀的表示，那麼如果針對我們剛剛說的體積 V 的球體，那麼整個球體內部的電磁場能量就可以表示爲：
那麼，如何表達體積V裏面電磁場能量的變化呢——導數啊！所以，當有電磁波入射進這個球體時，球體內電磁能的變化即爲：
那麼上面這個式子就可以表示單位時間內體積V裏面電磁場增加的儲能（因爲我們現在討論的是電磁波入射進曲面S）
到這兒，我們算是把我們剛剛猜測的：電磁能的變化給描述出來了。那麼既然有電流了，那麼不得產生焦耳熱嘛！那麼體積V內產生的焦耳熱怎麼表示呢？
首先我們要明確對於整個體積 V 而言，若其中存在電流時，其因焦耳熱會消耗電功率，因此我們是不是就可以用消耗的總電功率來描述焦耳熱？
那麼，體積V內總的電功率應該如何描述呢？我們先從體積微元的電功率看起，我們知道：
dA 表示電場力對體積微元 中的元電荷所做的功。那麼，我們再看看 dA等於啥：
看到 ρ（ρ爲體積微元內運動電荷的體密度）和 相乘，是不是回憶起了我們在之前的連載中講過的：
所以 dA 又可以寫成：
所以，微元電功率就可以表示爲：
所以體積 V 內消耗的總電功率可以寫成：
這一項我們可以理解爲是體積 V 內單位時間用於維持傳導電流而轉化爲焦耳熱的能量。
至此，我們又把焦耳熱給整出來了，下面我們回顧一下我們一開始所說的：
當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量的流動
那麼，如何描述這種能量的流動呢？我們引入能流密度矢量， 又稱爲坡印廷矢量，用 來表示。其方向表示能流流動方向； 而大小則等於單位時間內穿過與能量流動方向相垂直的單位面積內的能量
其實，坡印廷矢量從某種意義上說又具有通量的概念，很自然，我們可以這樣去描述流出閉合曲面 S 的能量：
那麼，到這裏我們知道：流入一個閉合曲面S 的總電磁能量，然後這個能量一部分轉化爲了這個閉合曲面所包圍的體積 V 內的電磁能的增量，另一部分轉化爲了焦耳熱
因此，坡印廷定理就是這樣表述的：
同時，有了之前矢量微分算子的基礎，我們能夠很輕易地寫出坡印廷定理的微分形式：
不過，大家可能會有疑問了：你說了半天，這 到底怎麼表示呢？下面揭曉：
等我們的連載更新到電磁波的時候，你就會知道爲什麼是叉乘而不是其他什麼表示了。
好啦，這就是今天連載的全部內容啦，我們介紹了時變電磁場的能量守恆，可是問題來了：我們現在雖然討論的是時變場，可以到底隨時間怎麼變呢？那麼在後續的連載裏面，我們將會介紹最常見的時變方式——時諧變電磁場，時諧變電磁場產生的電磁波，就可以攜帶有用的信息了！