面試準備：邏輯智力題

1. 走最遠

• 題目：
  一個車隊有5輛同樣的汽車，每輛車上裝滿的油能使汽車前進480千米，車子之間可以互相加油，現在5輛車同時出發，怎樣安排能使其中一輛車走的最遠，最遠走多遠？

如果只有兩輛車：
假設行駛x裏，首先x裏必定要大於480km的一半才行，否則多餘的油就浪費了。
行駛里程：$（480-x）*2+x=960-x，x>=240$，故取$x=\frac{1}{2}$。
也就是是先行駛1/2後，再將剩餘1/2的油輸入給另一輛。

這道題隱藏的信息是：

1. 不能浪費多餘的油。
2. 同時k輛車行駛，行駛距離越多，同時消耗的是k輛車的油。

所以要保證，不能浪費油的同時，k輛車行駛的距離越少。也就是慢慢減少車的並行數量。

所以，5輛車並行的時候，跑1/5的油，然後用4/5的油給其餘4輛加滿。
4輛車並行的時候，跑1/4的油，然後用3/4的油給其餘3輛加滿。
…

公式爲：$480*(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1)=1096$

• 題目：
  每個飛機只有一個油箱, 飛機之間可以相互加油(注意是相互,沒有加油機) 一箱油可供一架飛機繞地球飛半圈,問題：爲使至少一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場,至少需要出動幾架飛機？(所有飛機從同一機場起飛,而且必須安全 返回機場,不允許中途降落,中間沒有飛機場)

這道題，相當於前面車還需要返回了，所以算上返回，剛好用完一飛機的油最佳。並且剛好能讓另一個飛機的油加滿。
考慮如果有兩個飛機，能飛多遠？假設油箱飛行距離是單位1，地球一圈距離是單位2。
$1-2x=x$ 即 $x=\frac{1}{3}$ 所以，最終另一個飛機能飛1/3+1的單位。

現在的問題是出動幾架飛機，假設k個飛機，那麼：
$1-2x*(k-1)=(k-1)x$ 即 $x=\frac{1}{3(k-1)}$
並且，之後的情況相當於是k-1個飛機再飛，所以最終：
$\frac{1}{3(k-1)}+\frac{1}{3(k-2)}+\frac{1}{k-3}+....+\frac{1}{3}+1=2$
帶入數據計算出$k=4$

但是這道題有個難點，如果我不是原路返回，由於地球是圓的，過了半程後，反方向飛更省，如果考慮這個上面的公式就不對了，但是由於是取整，所以答案還是對的。

• 題目：
  有一人有240公斤水，他想運往乾旱地區賺錢。他每次最多攜帶60公斤，並且每前進一公里須耗水1公斤（均勻耗水）。假設水的價格在出發地爲0，以後，與運輸路程成正比，（即在10公里處爲10元/公斤，在20公里處爲20元/公斤…），又假設他必須安全返回，請問，他最多可賺多少錢？

很明顯，每次拖最多的水60kg，跑4趟，那麼每次跑到哪呢？
$y=x*(60-2x)=60x-2x^2$
求導可得$y^’=60-4x=0$，得$x=15$
所以在15km的時候取得最大值，即900-450=450
跑4趟，即4*450元

• 題目：
  一個商人騎一頭驢要穿越1000公里長的沙漠,去賣3000根胡蘿蔔。已知驢一次性可馱 1000根胡蘿蔔,但每走一公里又要吃掉一根胡蘿蔔。問：商人共可賣出多少胡蘿蔔？

很明顯這道題的邏輯和前面兩個不同，因爲一次性是無法穿越沙漠的（即使穿越了也不剩胡蘿蔔了），所以唯一可能的方法就是在中途卸下胡蘿蔔，採用接力的方式穿越沙漠，那麼這個存檔點的距離就需要計算。

顯然每次回到原點都要拿1000根。
因爲驢一次最多馱1000根，所以爲了最大化，在第一次卸下蘿蔔的地點剛好使用1000根即可。設驢走X公里第一次卸下蘿蔔（3次都要經過x公里，其中前兩次還有返回）：5x=1000，x=200

同理，第二次休息的地點也可以剛好使用1000:
3y=1000，y=333.3

而此時總共走了：200+333.3=533.3公里,而剩下的466.7公里只需要吃466根蘿蔔
所以可以賣蘿蔔的數量就是1000-466=534.

2. 最短時間過河

• 題目：
  過河一個晚上,四個人想要通過橋過河去,A通過橋最快要10分鐘,B要5分鐘,C要2分鐘,D要1分鐘,可是他們只有一個手電筒,每次最多只能有兩個人一起過河,要在17分鐘內過河,該怎麼過呢?

這道題的隱藏信息是：

1. 需要讓走的最快的人多走幾次，走的慢的人少走幾次（最好只走一次）。

故：
CD過河，D回來；AB過河，C回來；CD再次過河。
2+1+10+2+2=17分鐘。

3. 燒繩子

• 題目：
  （1）燒一根不均勻的繩要用一個小時，如何用它來判斷半個小時？
  （2）燒一根不均勻的繩，從頭燒到尾總共需要1個小時。現在有若干條材質相同的繩子，問如何用燒繩的方法來計時四十五分鐘？如何計時一個小時十五分鐘呢?

這道題突破口是繩子應該怎麼使用，要知道如果單純用來燒，是無法產生差額的，那麼怎麼才能產生差額呢？兩邊同時燒。

我們來看現在能產生的數據：

1. 燒一根繩：60min
2. 繩子兩端同時燒：30min

產生了30分鐘的差額，也就是：兩根繩子，一根燒一端，另一根燒兩端，能計時30分鐘。

那麼十五分鐘怎麼產生了？很明顯30分鐘的差額能夠再次對半：

1. 兩根繩子，一根燒一端🔥，另一根燒🔥兩端🔥，當兩端繩子燒完時，一端繩還剩30分鐘才能燒完。這時，時間過去了30分鐘。
2. 剩下30分鐘能燒完的繩子，現在燒🔥兩端🔥，15分鐘就能燒完。這時時間過去了45分鐘。
3. 再取一根繩子，燒🔥兩端🔥，燒完時，時間過去了1小時15分鐘。

4. 誰養魚

• 題目：
  前提：
  1、有五棟五種顏色的房子
  2、每一位房子的主人國籍都不同
  3、這五個人每人只喝一種飲料，只抽一種牌子的香菸，只養一種寵物
  4、沒有人有相同的寵物，抽相同牌子的香菸，喝相同的飲料
  提示：
  1、英國人住在紅房子裏
  2、瑞典人養了一條狗
  3、丹麥人喝茶
  4、綠房子在白房子左邊
  5、綠房子主人喝咖啡
  6、抽ＰＡＬＬ ＭＡＬＬ煙的人養了一隻鳥
  7、黃房子主人抽ＤＵＮＨＩＬＬ煙
  8、住在中間那間房子的人喝牛奶
  9、挪威人住第一間房子
  10、抽混合煙的人住在養貓人的旁邊
  11、養馬人住在抽ＤＵＮＨＩＬＬ煙的人旁邊
  12、抽ＢＬＵＥ　ＭＡＳＴＥＲ煙的人喝啤酒
  13、德國人抽ＰＲＩＮＣＥ煙
  14、挪威人住在藍房子旁邊
  15、抽混合煙的人的鄰居喝礦泉水
  問題是：誰養魚？

這道題，把表列出來即可：

5. 猜牌

• 題目：
  A 先生、B先生、C先生他們知道桌子的抽屜裏有16張撲克牌：
  紅桃A、Q、4
  黑桃J、8、4、2、7、3
  草花K、Q、5、4、6
  方塊A、5
  test教授從這16張牌中挑出一張牌來，並把這張牌的點數告訴B 先生，把這張牌的花色告訴C先生。這時，test教授問B先生和C先生：你們能從已知的點數或花色中推知這張牌是什麼牌嗎？ 於是，A先生聽到如下的對話：
  1⃣️B先生：我不知道這張牌。
  2⃣️C先生：我知道你不知道這張牌。
  3⃣️B先生：現在我知道這張牌了。
  4⃣️C先生：我也知道了。
  聽罷以上的對話，A先生想了一想之後，就正確地推出這張牌是什麼牌。
  請問：這張牌是什麼牌？

我們來分析第一輪對話：
1⃣️B先生：我不知道這張牌。
B首先知道了點數，光憑藉點數不能知道這是什麼牌，那麼具有重複點數的是：A\Q\4\5

2⃣️C先生：我知道你不知道這張牌。
考慮一下，C能夠明確的說出B不知道這張牌，說明了B 一定不會拿到A\Q\4\5之外的點數，否則B 可能是會知道是哪張牌的。所以那個花色一定不會包含A\Q\4\5以外的花色：
紅桃\方塊

我們總結一下現在B和C能得到的信息：

• A\Q\4\5
• 紅桃\方塊

我們接着分析第二輪對話：

3⃣️B先生：現在我知道這張牌了。
現在B說，能知道這張牌，那麼一定是在上面兩個信息中沒有重疊的牌，由於紅桃A和方塊A是重疊的，B能知道是哪張牌，那麼一定不是這兩張牌。
方塊 ：-A- 、5
紅桃 ：-A- 、Q、4

4⃣️C先生：我也知道了。
現在C能得到的信息增加了一項，能夠排除方塊A。而C 明確的 說知道了，那麼只能是方塊5了。不然紅桃有兩個選項是不能夠明確的知道是哪張的。

6. 量筒倒水

• 題目
  假設有一個池塘，裏面有無窮多的水。現有2個空水壺，容積分別爲5升和6升。問題是如何只用這2個水壺從池塘裏取得3升的水。

很明顯，這種題也是湊差額。
我們來看5升壺和6升壺能夠湊出哪些差額？

• 裝滿6升，倒入5升，還剩1升。
• 再次裝滿6升，倒入5升，還剩2升。
• 再次裝滿6升，倒入5升，還剩3升，

一不小心就湊出來了。

另外其他還可以湊其他數字：

• 裝滿5升，倒入6升，6升還有1升的空間。
• 再次裝滿5升，倒入6升，5升還有4升的水。（然後清空6升，將4升水裝入6升）
• 再次裝滿5升，倒入6升，5升還有3升水。

另一種方法也能湊出3升水來。

• 題目
  有三個桶,兩個大的可裝8斤的水,一個小的可裝3斤的水,現在有16斤水裝滿了兩大桶就是8斤的桶,小桶空着,如何把這16斤水分給4個人,每人4斤。沒有其他任何工具, 4人自備容器,分出去的水不可再要回來。

也是找差額，與前面的題不同的是：只有16斤水，不能浪費。
（8，5，3）->（8，5，0）：3斤清空給一個人(A:3)。
（8，5，0）->（8，2，3）->（8，0，3）->（8，3，0）：2斤清空給一個人(B:2)。
（8，3，0）->（5，3，3）->（5，6，0）->（2，6，3）->（2，8，1）->（2，8，0）：1斤清空給C(C:1)。
（2，8，0）->（2，5，3）->（7，0，3）->（7，3，0）->（4，3，3）->（4，6，0）->（1，6，3）->（1，8，1）->（1，8，0）：1斤清空給A（A:4）
（1，8，0）->（1，5，3）->（4，5，0）->（4，2，3）->（0，0，0）：2斤給B（B:4），3斤給C(C:4)，4斤給D（D:4）
結束。

• 題目
  據說有人給酒肆的老闆娘出了一個難題：此人明明知道店裏只有兩個舀酒的勺子, 分別能舀7兩和11兩酒,卻硬要老闆娘賣給他2兩酒。聰明的老闆娘毫不含糊,用這兩個勺子在酒缸裏舀酒,並倒來倒去,居然量出了2兩酒,聰明的你能做到嗎？

找差額：
方法一：
(0,0)->(11,0)->(4,7)->(4,0)->(0,4)->(11,4)->(8,7)->(8,0)->(1,7)
量出1兩，先給他，然後重複這個步驟再量出1兩
方法二：
(0,0)->(0,7)->(7,0)->(7,7)->(11,3)->(0,3)->(3,0)->(3,7)->(10,0)->(10,7)->(11,6)->(0,6)->(6,0)->(6,7)->(11,2)
直接給2兩酒。

7. 三個火槍手

• 題目：
  三個小夥子同時愛上了一個姑娘，爲了決定他們誰能娶這個姑娘，他們決定用槍進行一次決鬥。小李的命中率是30％，小黃比他好些，命中率是50％，最出色的槍手是小林，他從不失誤，命中率是100％。由於這個顯而易見的事實，爲公平起見，他們決定按這樣的順序：小李先開槍，小黃第二，小林最後。然後這樣循環，直到他們只剩下一個人。那麼這三個人中誰活下來的機會最大呢？他們都應該採取什麼樣的策略？

首先，爲了簡單討論，把三個人分別教程30、50、100。

1. 而最好推測的是100，因爲對他威脅最大的是50，所以他會優先殺50.
2. 現在50知道了100會優先殺他，他也會優先殺100，這是毋庸置疑的。

最麻煩的在於30，30 最希望看到的結果是：50殺了100，而自己殺了50。因爲萬一自己第一槍打死了50，那麼100會百分百殺死自己。
所以現在，30的第一槍，有三個選擇：

1. 向50開槍
2. 向100開槍
3. 開空槍

我們分情況討論：
第一次向50開槍，那麼最終30自己活下來的過程爲：

• 情況一：
  第一輪：30向50開槍，50沒死；50向100開槍，100死了。
  第二輪：30和50單獨pk。
• 情況二：
  第一輪：30向50開槍，50沒死；50向100開槍，100沒死；100向50開槍，50死了。
  第二輪：30向100開槍，100死了。

我們可以看到，第一次無論如何50不能死，所以，選擇不向50開槍纔是概率最大的。

第一次向100開槍，那麼最終30自己活下來的過程爲：

• 情況一：
  第一輪：30向100開槍，100死了；50向30開槍，30沒死。
  第二輪：30和50單獨pk。
• 情況二：
  第一輪：30向100開槍，100沒死；50向100開槍，100死了。
  第二輪：30和50單獨pk。
• 情況三：
  第一輪：30向100開槍，100沒死；50向100開槍，100沒死；100向50開槍，50死了。
  第二輪：30向100開槍，100死了。

第一次空槍，那麼最終30自己活下來的過程爲：

• 情況一：
  第一輪：50向100開槍，100死了。
  第二輪：30和50單獨pk。
• 情況二：
  第一輪：50向100開槍，100沒死；100向50開槍，50死了。
  第二輪：30向100開槍，100死了。

感性的分析：
如果30向100開槍，100死了，那麼50會增加一次殺死自己的機會。
而如果100沒死，和開空槍的情況一樣。

所以最好的辦法是，30在第一次放空槍。
情況一的概率：$50\%*（30\%+70\%*50\%*30\%+（70\%*50\%）^2*30\%+....+（70\%*50\%）^n*30\%）=50\%*lim_{n->∞}\frac{30\%*(1-35\%^n)}{1-35\%}=23.08\%$，

等比數列求和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

情況二的概率：$50\%*30\%=15\%$

故總的存活概率是：$38.08\%$。

8. 囚犯分湯

• 題目：
  一間囚房裏關押着兩個犯人。每天監獄都會爲這間囚房提供一罐湯，讓這兩個犯人自己來分。起初，這兩個人經常會發生爭執，因爲他們總是有人認爲對方的湯比自己的多。後來他們找到了一個兩全其美的辦法：一個人分湯，讓另一個人先選。於是爭端就這麼解決了。可是，現在這間囚房裏又加進來一個新犯人，現在是三個人來分湯。必須尋找一個新的方法來維持他們之間的和平。該怎麼辦呢？

由其中一個人分湯，另兩個犯人挑選他們認爲最多的一碗，剩下的一碗留給分湯的那個人；然後把另兩個犯人挑選的兩碗湯混合在一起，再按兩個人分湯的步驟分湯。

9. 硬幣覆蓋桌面

• 題目：
  在一張長方形的桌面上放了n個一樣大小的圓形硬幣。這些硬幣中可能有一些不完全在桌面內，也可能有一些彼此重疊；當再多放一個硬幣而它的圓心在桌面內時，新放的硬幣便必定與原先某些硬幣重疊。請證明整個桌面可以用4n個硬幣完全覆蓋。

一個隱藏的條件是：

• 每個硬幣圓心之間的距離必然是小於單位2的。（假設硬幣半徑是單位1。所用條件：當再多放一個硬幣而它的圓心在桌面內時，新放的硬幣便必定與原先某些硬幣重疊。）

利用這個條件，我們可以知道，整個桌面可以被n個半徑爲單位2的硬幣覆蓋。假如此時把桌面和硬幣的尺度都縮小一倍，那麼，長、寬各是原桌面一半的小桌面（面積就是原來的1/4），就可以用n個半徑爲1的硬幣覆蓋。

所以這就相當於把原來的桌子分割成相等的4塊小容桌子，那麼每塊小桌子都可以用n個半徑爲1的硬幣覆蓋，因此，整個桌面就可以用4n個半徑爲1的硬幣覆蓋。

10. 猜數字

• 題目：
  一個教授邏輯學的教授，有三個學生，而且三個學生均非常聰明！一天教授給他們出了一個題，教授在每個人腦門上貼了一張紙條並告訴他們，每個人的紙條上都寫了一個正整數，且某兩個數的和等於第三個！（每個人可以看見另兩個數，但看不見自己的）教授問第一個學生：你能猜出自己的數嗎？回答：不能，問第二個，不能，第三個，不能，再問第一個，不能，第二個，不能，第三個：我猜出來了，是144！教授很滿意的笑了。請問您能猜出另外兩個人的數嗎？

這道題的隱藏信息：

• 0不是正整數。 很隱晦的信息。

這道題，也是分輪次分析：
第一輪：三個人都回答不能
根據三個人都回答的不能，說明了沒有重複數字，因爲如果存在重複數組，比如A：5，B：5，那麼由於紙上寫的正整數，是大於0的，所以C就能明確知道自己的數字。

第二輪：三個人都回答不能
現在沒有兩個相同的數字了，三個人仍然回答不能，這次回答能夠排除掉某一個數是另一個數的兩倍大，比如A：5，B：10，C知道現在沒有兩個相同的數字，那麼C不可能是5，C只能是15。

第三輪：AB都說不能，C回答144
現在，我們能得到的信息是自己拿到的數字要麼是其餘兩數的和，要麼是其餘兩數的差，而C能回答自己的數字，必然是排除了一種情況。

什麼情況才能說明C排除了一種情況了，也就是C在第二輪得到了信息：沒有一個數字是另一個數的兩倍大。說明了C的一個情況裏（和或者差），自己的數是某一個人的數的兩倍大。

假設C的推測錯誤數字是A的兩倍大：

• 假設推測的錯誤數字是兩個數的和，A+B=2A，而C正確的數字是通過A-B=144得來的。得到C=0矛盾。
• 假設推測的錯誤數字是兩個數的差，B-A=2A（不可能是A-B=2A，因爲沒有負數），而C的正確數字則是通過A+B=144得來的。得到A=36，B=72。

11. 馬的數目

• 題目：
  現在共有100匹馬跟100塊石頭，馬分3種，大型馬；中型馬跟小型馬。其中一匹大馬一次可以馱3塊石頭，中型馬可以馱2塊，而小型馬2頭可以馱一塊石頭。問需要多少匹大馬，中型馬跟小型馬？（必須是剛好用完100匹馬）

列方程：
$x+y+z=100$
$3x+2y+z/2=100$

可得：$5x+3y=100$
由於x和y都是整數，那麼y必然是5的倍數，如0,5,10,…

12. 排隊方式

• 題目：
  有2n個人排隊進電影院，票價是50美分。在這2n個人當中，其中n個人只有50美分，另外n個人有1美元（紙票子）。愚蠢的電影院開始賣票時1分錢也沒有。問：有多少種排隊方法使得每當一個擁有1美元買票時，電影院都有50美分找？

答案：$\frac{(2n)!}{2}$
因爲50美分和1美元的人數是一樣的，全排列之後如果某個排隊方法找不開，整個隊伍掉個頭就肯定找的開，然後就會和找的開的一種排隊方法重複，所以全排列除以2。

13. 運動分數

• 題目：
  有一種體育競賽共含M個項目，有運動員A，B，C參加，在每一項目中，第一,第二,第三名分別的X，Y，Z分，其中X,Y,Z爲正整數且X>Y>Z。最後A得22分，B與C均得9分，B在百米賽中取得第一。求M的值，並問在跳高中誰得第二名。

三人總得分：22+9*2=40分。
而得分是正整數，那麼至少是1，2，3分及以上，那麼比一次最少會有6分進賬。但是6分除不清，那麼至少得是8分，10分（不可能是40分，也不可能是20分如果只有兩次比賽，那麼B與A的數據應該是接近的）。

8分的組成有：（1，2，5），（1，3，4）
10分的組成有：（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（2，3，5）

考慮10分組成，要比4次：

• （1，2，7）：如果得一次第一能有7分，那麼B即使其他三場都拿最後一名，即7+1+1+1>9；
• （1，3，6）：B的構成6+1+1+1=9，那麼C怎麼構成呢：如果得第二名配不平（3+3+?+?=9），如果得第一名，沒有那麼多第三名了。
• （1，4，5）：B的構成：5+1+1+？=9 配不平。
• （2，3，5）：B也配不平。

所以考慮8分構成，要比5次：

• （1，3，4）：B的構成：4+3+? 配不平 或者 4+1+1+1+? 配不平。
• （1，2，5）：B的構成9=5+1+1+1+1。A的構成：5+5+5+5+2，C的構成：2+2+2+2+1。

所以M=5，跳高比賽第二名是B。

14. 稱重

• 題目：
  有7克、2克砝碼各一個，天平一隻，如何只用這些物品三次將140克的鹽分成50、90克各一份？

找差額：
7+2=9；9+9=18； 距離140克太遠了。
7-2=5；5+5=10；同樣也很遠。

隱藏物品：140g鹽，它可以自身對半分。
所以可以找到：
140=70+70；70=35+35；（現在，有兩堆35g，一堆70g）
使用其中一堆35g的鹽，現在需要找出15g和20g的分量（15+35，20+70），所以利用砝碼：
15g+7g=20g+2g
就稱出來了。

• 題目：
  12個球一個天平，現知道只有一個和其它的重量不同，問怎樣稱才能用三次就找到那個球。13個呢？（注意此題並未說明那個球的重量是輕是重）

很直接的想法就是先讓12個球分成3組：ABC
第一次： 如果AB重量相同，就在C中（4個），否則在AB中（8個）。
第二次： 直接考慮在AB中的情況，8個也分3組，3+3+2，最壞情況是隻能排除2個，還剩6個。
第三次：6個怎麼分也不能找出那一個。
所以這種直接想法是不對的。

我們此時會察覺到，C中的（4個）必然是正確的重量！
第二次我們可以直接排除一半。
第二次：8個分2組：DE，D與C比較，不是D就是E，而且可以知道是重了還是輕了。
第三次：4個怎麼分也沒法找出哪一個（最多隻能排除2個）。

說明了，第二次至少要排除到3個才行。那麼第二次怎麼才能排除到3個呢？現在的信息是：錯誤的球在這8個球裏面，並且已知了4個正確重量的球。由於8個分3組的情況我們已經考慮過了，一定還有什麼隱藏信息或者方法： 那就是球的輕重。
第一次：12個球分成3組，（A：1⃣️2⃣️3⃣️4⃣️）（B：5⃣️6⃣️7⃣️8⃣️）（C：9⃣️🔟11，12）。A與B比較，如果A>B，說明要麼是壞球是重的，在A裏面；要麼壞球是輕的，在B裏面。
第二次：8個分成三組，（D：1⃣️2⃣️5⃣️）（E：3⃣️4⃣️6⃣️）(F：7⃣️8⃣️)。把D與E比較，如果D=E，說明壞球在7⃣️8⃣️裏，和好球比較一次即可；如果D<E，說明要麼壞球是重的，是6⃣️，要麼壞球是輕的，是3⃣️4⃣️；如果D>E，說明要麼壞球是重的，是1⃣️2⃣️，要麼壞球是輕的是5⃣️。
第三次：現在已經將球縮減到了2+1的模式，直接對比2個的那組就行。

15. 檢驗毒藥

• 題目：
  1000瓶藥水，1瓶有毒藥，服用後一小時毒發，毒藥可以無限稀釋，那麼一小時內用幾隻小白鼠能夠找出毒藥？

假如是8瓶藥水，3只小白鼠。
000=0
001=1
010=2
011=3
100=4
101=5
110=6
111=7

每位數表示一隻老鼠，0-7表示8個瓶子。即將1，3，5，7號瓶子的藥混合取樣給鼠1吃，2，3，6，7號瓶子混合取樣給老鼠2吃……死鼠相應的位標爲1。如鼠1死了，鼠2沒死，鼠3死了，那麼就是101=5號瓶子有毒。N只老鼠的量程爲$2^N$，1000只瓶子位於$2^9$ ~ $2^{10}$，即10只小鼠可以測1000瓶水。

• 題目：
  10箱黃金,每箱100塊,每塊一兩。有貪官,把某一箱的每塊都磨去一錢 。請稱一次找到不足量的那個箱子 。

1、10個箱子編上號，分別爲1～10號。

2、1號箱取一塊，2號箱取2塊，3號箱取3塊，依此類推……

3、共取出55塊黃金，放在一起稱量一次，正常情況下應該是55兩。如果少一錢，說明貪的是1號箱，如果少兩錢，說明貪的是2號箱，如果少三錢，說明貪的是3號箱,依此類推……

• 題目：
  有十瓶藥,每瓶裏都裝有100片藥,其中有八瓶裏的藥每片重10克,另有兩瓶裏的藥每片重9克。用 一個精確的小秤,只稱一次,如何找出份量較輕的那兩個藥瓶？

解法和上面相同。

16. 芯片比較

• 題目：
  芯片測試：有2k塊芯片，已知好芯片比壞芯片多．請設計算法從其中找出一片 好芯片，說明你所用的比較次數上限． 其中：好芯片和其它芯片比較時，能正確給出另一塊芯片是好還是壞． 壞芯片和其它芯片比較時，會隨機的給出好或是壞。

把第一塊芯片與其它逐一對比，看看其它芯片對度第一塊芯片給出的是好是壞，如果給出是好的過半，知那麼說明這是好芯片。
如果給出的是壞的過半，說明第一塊芯片是壞的，那麼就要在那些在給出第一塊芯片內是壞的芯片中，重複上述步驟，直到找容到好的芯片爲止。
方法複雜度（最壞情況，過半可以直接停止，所以第一次比較只需要n/2+1次）O(n/2+n/4+n/8+…+1)=O(n^2)，（最好情況）O(n/2+1)。

17. 鐘錶

• 題目：
  從前有一位老鐘錶匠, 爲一個教堂裝一隻大鐘。他年老眼花,把長短針裝配錯了, 短針走的速度反而是長針的12倍。裝配的時候是上午6點,他把短針指在“6 ”上,長針指
  在“12”上。老鐘錶匠裝好就回家去了。人們看這鐘一會兒7點,過了不一會兒就8點了, 都很奇怪,立刻去找老鐘錶匠。等老鐘錶匠趕到,已經是 下午7點多鐘。他掏出懷錶來一
  對,鍾準確無誤,疑心人們有意捉弄他,一生氣就回去了。這鐘還是8點、9點地跑,人們 再去找鐘錶匠。老鐘錶匠第二天早晨8點 多趕來用表一對,仍舊準確無誤。 請你想一想,
  老鐘錶匠第一次對錶的時候是7點幾分？第二次對錶又是8點幾分？

在6點,兩針成爲一直線,這是老鐘錶匠裝配的時間。以後再做。

18. 海盜分金

• 題目：
  5名海盜搶得了窖藏的100塊金子,並打算瓜分這些戰利品。這是一些講民主的海盜 (當然是他們自己特有的民主),他們的習慣是按下面的方式進行分配：最厲害的一名海盜提出分配方案,然後所有的海盜(包括提出方案者本人)就此方案進行表決。如果超過50%的海盜贊同此方案,此方案就獲得通過並據此分配戰利品。否則提出方案的海盜將被扔到海里,然後下一名 最厲害的海盜又重複上述過程。

5名海盜，分別是ABCDE。
對於E來說，無論如何他希望的都是前面的人都死掉，自己獨吞100枚金幣。
D瞭解到E的想法，所以如果最後只剩下D和E兩個人，那麼如果不給100枚金幣給E，那麼E會把他丟到海里。
C瞭解到DE的想法，所以，他無論提出什麼方案，D都會接受，所以他會提出（100，0，0），投票比2：1。
B瞭解到CDE的想法，所以，他只要提出給D和E 1枚金幣，那麼D就會支持他的想法（98，0，1，1），投票比3:1
A瞭解到BCDE的想法，所以，他只要收買兩個人即可，他可以（97，0，1，2，0），此時投票比3:2，注意，這裏分給比原先多的金幣才能穩穩的不被丟下海。

19. 存活機率

• 題目：
  5個囚犯,分別按1-5號在裝有100顆綠豆的麻袋抓綠豆,規定每人至少抓一顆,而抓得最多 和最少的人將被處死,而且,他們之間不能交流,但在抓的時候,可以摸出剩下的豆子數。問他們中誰的存活機率最大？
  前提：
  1,他們都是很聰明的人　　　　　　
  2,他們的原則是先求保命,再去多殺人　　　　　　
  3,100顆不必都分完　　　　　　
  4,若有重複的情況,則也算最大或最小,一併處死

我們可以知道1號囚犯，無論摸多少顆，2號囚犯都能知道他摸了多少顆。3號囚犯能夠知道1和2一共摸了多少顆，…。
另外，如果1號囚犯拿的太多，比如50顆，那麼2號拿47顆，就能穩穩的保證自己不會死，並且還能害死1號和後面幾號。所以1號囚犯不敢拿太多，他需要拿一個安全範圍的豆子。

那麼這個1號安全範圍的豆子是多少呢？100/5=20，假如1號拿21顆，那麼2號知道1號拿了21顆的情況下，如果自己拿了20顆，還剩59顆，3號也會拿41顆的平均20顆，因爲必然有人比20顆要大，4號看到前面拿了61顆了，還剩39顆，如果自己拿20顆，必然也不是最小的，所以這種情況就是1、5會死。

所以1號不敢拿21顆，如果1號拿20顆呢？2號敢拿19顆嗎？如果2號拿19顆，還剩61顆，如果後面的人都拿20顆和21顆，那麼他也許會死。
所以2號也拿20顆，到了3號，他敢拿19顆嗎？也不敢，3號也拿20顆，4號一看還剩40顆，如果自己拿19顆或者21顆，那麼可能自己會成爲最小的，5號一看還剩20顆，只能全拿，同歸於盡。

同歸於盡也許不是最好的選擇，那麼現在把1號的選擇劃分到2-19上來。這樣我們打個比方選了個17吧。輪到2號選了，他如果犯錯，選了不緊貼17的那個數（16或18），比如選個19，那麼後面3個都會按平均數原理選擇18，死的就是1號和2號，所以他犯錯他自己必死，而且也把1號也給害了。

如果1號和2號都不犯錯，1號選了20以下的數，2號選了緊貼1號的那個數，比他大1或者小1，那麼3號犯錯的情況下，比方說1號選了17，2號18，3號不犯錯應該是17、18中任選一個，但他犯錯了可能選了16或19，這時候1號或2號中有一個能活，而且活的概率是一樣的。
綜上三點，可見2號活的概率肯定比1號大，因爲1號犯錯2號能活，而2號犯錯1號必死，且3號或3號以後犯錯，1號和2號生存概率一樣大。所以1號已經被KO了。接下來我們再看，1號犯錯時，2號和3號都能活，2號犯錯時3號能活，3號犯錯時，2號只有一半概率活，而4號，5號犯錯時，2號和3號生存概率一樣。所以2號的存活率顯然是不如3號的。同理可證，1號犯錯時2號，3號，4號都能活，2號犯錯時3號，4號都能活，3號犯錯時4號能活，4號犯錯時3號一半概率活，5號犯錯時，3號和4號存活概率一樣，所以3號存活概率不如4號。
最後5號非常特殊，1號犯錯時，5號也必死，所以5號的存活概率肯定是不如4號的，綜上，最終生存概率最高的一定是4號。

20. 誰是繼承人

• 題目：
  說從前啊,有一個富 人,他有30個孩子,其中15個是已故的前妻所生,其餘15個是繼室所生,這後一個婦人很想讓她自己所生的最年長的兒子繼承財產,讓我們把我們的30個孩子排成一個圓圈,從他們中的一個數起,每逢到10就讓那個孩子站出去,直到最後剩下哪個孩子,哪個孩子就繼承你的財產吧!"富人一想,我靠,這個題意相當有內涵了,不錯,彷彿很公平,就這麼辦吧不過,當剔選過程不 斷進行下去的時候,這個富人傻眼了,他發現前14個被剔除的孩子都是前妻生的,而且下一個要被剔除的還是前妻生的,富人馬上大手一揮,停,現在從這個孩子 倒回去數, 繼室,就是這個歹毒的後媽一想,倒數就倒數,我15個兒子還鬥不過你一個啊。她立即同意了富人的動議,你猜,到底誰做了繼承人呢？

21. 平分金條

• 題目：
  你讓工人爲你工作7天,給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的7段,你必須 在每天結束時都付費,如果只許你兩次把金條弄斷,你如何給你的工人付費？

答案：
把金條標記分爲長爲1、2、4的三段，三段切兩刀。
第一天給1。
第二天給2（讓他還1）。
第三天給1。
第四天給4，讓他還（1和2）。
…

22. 紅眼難題

• 題目：
  一羣人開舞會,每人頭 上都戴着一頂帽子。帽子只有黑白兩種,黑的至少有一頂。 每個人都能看到其它人帽子的顏色,卻看不到自己的。主持人先讓大家看看別人頭上戴的 是什幺帽子,然 後關燈,如果有人認爲自己戴的是黑帽子,就打自己一個耳光。第一次關 燈,沒有聲音。於是再開燈,大家再看一遍,關燈時仍然鴉雀無聲。一直到第三次關燈, 才 有劈劈啪啪打耳光的聲音響起。問有多少人戴着黑帽子？

略。

23. 猜帽子

• 題目：
  有3頂紅帽子,2頂白帽子,現將其中的三頂給排成一列的三人每人戴一頂,每人卻只能看到自己前面的人的帽子,而看不到自己和自己後面人的帽子,同時三人也都不知道剩下的兩頂帽子的顏色（但卻知道他們三人的帽子是三頂紅帽子,兩頂白帽子中取的）.
  先問站在最後邊的人道：“你知道你戴的帽子是什麼顏色的嗎?”最後邊的人回答說：“不知道.”接着讓中間的人說出自己戴的帽子的顏色,中間的人回答說：“不知道”.聽了他們兩 人的回答後,你能知道站在最前面的人戴的是什麼顏色的帽子嗎?

最後一個人能看到2個帽子，如果他回答知道，那麼前面的人必然是戴的2頂白帽子。所以現在前面的人要麼是：1頂紅帽+1頂白帽。要麼是：2頂紅帽。

再看第二個人，如果他回答知道，那麼前面的人必然是戴的白帽子。現在他回答不知道，因爲他不知道自己戴的是白帽子還是紅帽子。

那麼第一個人肯定能知道自己戴的紅帽子。

• 題目：
  有3頂紅帽子,4頂黑帽子,5頂白帽子。讓10個人從矮到高站成一隊,給他們每個人頭上戴一頂帽子。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色,卻只能看見站在前面那些人的帽子顏色。 (所以最後一個人可以看見前面9個人頭上帽子的顏色,而最前面那個人誰的帽子都看不見。現在從最後那個人開始,問他是不是知道自己戴的帽子顏色,如果他回答 說不知道,就繼續問他前面那個人。最前面那個人一定會知道自己戴的是黑帽子。爲什麼？

太長略。

24. 拿到第N個球

• 題目：
  假設排列着100個乒乓球,由兩個人輪流拿球裝入口袋,能拿到第100個乒乓球的人爲勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿1個,但最多不能超過5個,問：如果你是最先拿球的人,你該拿幾個？以後怎麼拿就能保證你能得到第100個乒乓球？

考慮最簡單的：
（1）假如球的個數小於6個，那麼第一個人就能全拿完，第一個人必勝。
（2）假如球的個數剛好是6個，那麼第二個人必勝。
（3）假如球的個數(6,11]，第一個人拿1-5個就能保證必勝。
（4）如果是12個，那麼無論第一個人拿多少個，第二個人只需要拿到剩餘6個，就可以回到情況（2），第二個人必勝。
（5）如果是(12,17]個，那麼第一個人拿1-5個就能回到情況（3），第一個人必勝。

所以規律就出來了，只要球不是6的倍數，那麼第一個人是必勝的，必勝方法就是第一次拿取1-5個，讓球的個數剛好是6的倍數，然後之後無論第二個拿多少個，第一個人都將其湊到6個，也就是剩餘的球是6的倍數，第一個人是穩贏的。
對於本題，就是一開始拿4個，湊到96個（6的16倍），然後無論第二個人拿1-5個，第一個人拿5-1個即可。

25.

其他題

• 題目：
  1
  1 1
  2 1
  1 2 1 1
  1 1 1 2 2 1
  下一行是什麼？

第二行：一個1
第三行：兩個1
第四行：一個2，一個1
…
故：3 1 2 2 1 1

• 題目：
  一個球、一把長度大約是球的直徑2/3長度的直尺.你怎樣測出球的半徑？

1. 球放在平面上，尺子豎起來與球相切，切點就是球的半徑。
2. 球放氣，對摺兩次，直接量。

• 題目：
  五個大小相同的一元人民幣硬幣。要求兩兩相接觸，應該怎麼擺？

首先，一個平面顯然是不可能的了。那麼放到三維立體上來：

• 題目：
  某城市發生了一起汽車撞人逃跑事件，該城市只有兩種顏色的車,藍15%綠85%，事發時有一個人在現場看見了，他指證是藍車，但是根據專家在現場分析,當時那種條件能看正確的可能性是80%那麼,肇事的車是藍車的概率到底是多少?

P=$\frac{15\%*80\%}{15\%*80\%+85\%+20\%}$

• 題目：
  一個家庭有兩個小孩，其中有一個是女孩，問另一個也是女孩的概率?

P=$\frac{女女}{女男+男女+女女}=\frac{50\%*50\%}{50\%*50\%+50\%*50\%+50\%*50\%}=\frac{1}{3}$

• 題目：
  一樓到十樓的每層電梯門口都放着一顆鑽石，鑽石大小不一。你乘坐電梯從一樓到十樓，每層樓電梯門都會打開一次，只能拿一次鑽石，問怎樣才能拿到最大的一顆？

選擇前五層樓都不拿，觀察各層鑽石的大小，做到心中有數。後五層樓再選擇，選擇大小接近前五層樓出現過最大鑽石大小的鑽石。

• 題目：
  爲什麼下水道的蓋子是圓的？

1.面積小
2.圓心到邊距離相等，不會掉。

• 題目：
  100個人回答五道試題，有81人答對第一題，91人答對第二題，85人答對第三題，79人答對第四題，74人答對第五題，答對三道題或三道題以上的人算及格， 那麼，在這100人中，至少有（ ）人及格。

鴿巢原理，分別有19人，9人，15人、21人、26人錯。要求至少多少人及格，反過來就是求最多有多少人錯了三道。排序：9，15，19，21，26。
9，15，19，21，26
0，15，19，12，17 =》12，15，17，19=》 目前錯三題9人。
0，15，5，7=》5，7，15-》目前錯三題9+12人
0，2，13=》目前錯三題：9+12+5人
故至少100-9-12-5=74人及格。好像和別人的答案不一樣

轉化爲概率做：
第一道正確率：81%，依此類推：91%，85%，79%，74%，那麼所求的是：全對+四個對+三個對。或者用100%減去一個錯、兩個錯。
也就是$100\%-C_5^1(19\%+9\%+15\%+21\%+26\%)-C_5^2(19\%*9\%+19\%*...)$這樣算的答案應該是對的。

• 題目：
  陳奕迅有首歌叫十年呂珊有首歌叫3650夜那現在問,十年可能有多少天?

這樣可能包含1，2個閏年，3651或3652天。

• 題目：
  有一個大西瓜,用水果刀平整地切,總共切9刀,最多能切成多少份,最少能切成多少份?

在不移動西瓜的情況下，最少10，最多130。130=1 2 4 7 11 16 22 29 37，其中差額是1，2，3，4，5…

• 題目：
  假設現在有一個圓形的小島，人在圓心，島邊上有一隻鱷魚想吃人，鱷魚只能走圓的邊緣，且鱷魚游泳的速度是人走的四倍，人要怎麼樣走，才能比鱷魚之前到達島的邊緣。

1.朝着鱷魚反方向直接走，人的時間：r/v，鱷魚時間：πr/4v，顯然鱷魚更快

2.走圓弧，不會算（把下面折線改成弧線）

3.走同心圓，算角速度，不會

• 題目：
  一天,harlan的 店裏來了一位顧客,挑了25元的貨,顧客拿出100元,harlan沒零 錢找不開,就到隔壁飛白的店裏把這100元換成零錢,回來給顧客找了75元零錢。 過一會 ,飛白來找harlan,說剛纔的是假錢,harlan馬上給飛白換了張真錢,問harlan賠了多少 錢？

75元+25元的貨

• 題目：
  兩個空心球,大小及重量相同,但材料不同。一個是金,一個是鉛。空心球表面圖 有相同顏色的油漆。現在要求在不破壞表面油漆的條件下用簡易方法指出哪個是金的,哪個是鉛的。

相同得力原地旋轉兩個球, 兩球重心到內壁中心距離不同, 線速度不同.轉得快得是金球.

• 題目：
  有23枚硬幣在桌上,10枚正面朝上。假設別人矇住你的眼睛,而你的手又摸不出硬幣的 反正面。讓你用最好的方法把這些硬幣分成兩堆,每堆正面朝上的硬幣個數相同。

硬幣分成兩堆，一堆10枚，一堆13枚。
將10枚的那堆翻轉。

• 題目：
  屋裏三盞燈,屋外三個開關,一個開關僅控制一盞燈,屋外看不到屋裏。怎樣只進屋一次,就知道哪個開關控制哪盞燈? 四盞呢？

三個燈: 打開兩個燈, 過一會關閉一個. 進去看亮着的, 不亮但是發熱的,不亮也不發熱的
四個燈: 打開兩個燈, 過一會關閉一個, 然後打開一個新的燈, 不亮但是發熱的, 亮但是
不發熱的, 亮而且發熱的, 不亮也不發熱的.

• 題目：
  2+7-2+7全部有火柴根組成,移動其中任何一根,答案要求爲30

將最後一個加號變成, 217, 將第一個加號變成247. 即247-217

• 題目：
  海灘上有一堆桃子，這是五個猴子的財產，它們要平均分配。第一個猴子來到海灘，它左等右等，未等來別的猴子，便把桃子平均分成五堆，還剩一個，它就把剩下的一個扔到海里，自己拿起了5堆中的一堆。第二個猴子來了，它把剩下的桃子分成五堆，把剩下的一個又扔掉了，然後拿起一堆。以後每個猴子來了都是如此辦理，問原來至少有多少個桃子？最後海灘上至少剩下多少桃子？

方法一：
N=5A1＋1
4A1=5A2＋1
4A2=5A3＋1
4A3=5A1＋1
4A4=5A5＋1
化簡得 N=3121
方法二：
如果這堆桃子的個數可以被5只猴子平分5次，每次都可以分成回5等份，那麼這堆桃子的個數至少要有：
5×5×5×5×5=3125(個)但是，現在的桃子答總數是不能被5整除的，必須減去1纔可以被5整除。這個數可以是：
3125+1=3126(個)但又要求5次5等份之前都要減少1，一共減去5個，即3126-5=3121(個)。

• 題目：
  一邏輯學家誤入某部 落，被囚於牢獄，酋長欲意放行，他對邏輯學家說：“今有兩門，一爲自由，一爲死亡，你可任意開啓一門。現從兩個戰士中選擇一人負責解答你所提的任何一個問題（Y/N），其中一個天性誠實，一人說謊成性，今後生死任你選擇。”邏輯學家沉思片刻，即向一戰士發問，然後開門從容離去。邏輯學家應如何發問？

左邊得門回答Y，右邊得門回答N，如果是另一個戰士來指出哪一個是死門，他會指左邊得門還是右邊得門呢？
如果是誠實得人回答，因爲不誠實得人會指向生門，所以誠實得人也會指向生門。
如果是說謊得人回答，因爲誠實得人會指向死門，所以不誠實得人會指向生門。

• 題目：
  有一牧場,已知養牛27頭,6天把草吃盡；養牛23頭,9天把草吃盡。如果養牛21 頭,那麼幾天能把牧場上的草吃盡呢？說明：牧場上的草是不斷生長的。”

🐂：$x$，🌱：$y$，🌲：$z$
$27*6*x-6y=z$
$23*9*x-9y=z$
得，$15x=y$
得，$72x=z$
$21*t*x-t*15x=72x$
得t=12

• 題目：
  有兩位盲人，他們都各自買了兩對黑襪和兩對白襪，八對襪了的布質、大小完全相同，而每對襪了都有一張商標紙連着。兩位盲人不小心將八對襪了混在一起。他們每人怎樣才能取回黑襪和白襪各兩對呢？

標籤撕開，每人拿一隻。
放太陽下曬，溫度高的是黑色襪子。

• 題目：
  你有兩個罐子，50個紅色彈球，50個藍色彈球，自己可以按照設想的方法放彈球，放完以後隨機選出一個罐子，隨機選取出一個彈球放入罐子，怎麼給紅色彈球最大的選中機會？在你的計劃中，得到紅球的準確機率是多少？

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\frac{49}{99}$

• 題目：
  1元錢一瓶汽水,喝完後兩個空瓶換一瓶汽水,問：你有20元錢,最多可以喝到幾 瓶汽水？

不夠的時候，找人借瓶子。
20+ 10+5+3+1+1 = 40瓶.

• 題目：
  在9個點上畫10條直線,要求每條直線上至少有三個點？

X O X
O X O
X X X
O X O
X O X