本文內容摘錄自《大規模MIMO傳輸理論與關鍵技術》與《MIMO-OFDM無線通信技術及MATLAB實現》
信道狀態信息(CSI) 是一種籠統的概念，它包括信道矩陣。只要是反應Channel的都叫信道狀態信息。信道矩陣只是MIMO系統中百的一種信道狀態信息。其他的比如Channel profile，多徑時延，多普勒頻偏，MIMO信道的秩，波束形成向量等等，都屬於信道狀態信息。當前的信道矩陣H只能算是一種信道狀態信息，但是是最常用的。
在大規模MIMO中，接收端的信道均衡和符號檢測都需要精確的CSI。並且，只有在準確知道傳播環境的情況下纔可以實現空間的高分辨率。因此，準確的信道估計成爲限制大規模MIMO系統性能的一個主要因素 。信道估計是指接收端根據一定的準則，從接收數據中將某個信道模型的模型參數估計出來的過程 。傳統的基於導頻的信道估計方法有最小二乘法（Least Square，LS）、MMSE、線性最小均方誤差（Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE）法和極小方差無偏（Minimum Variance Unbiased，MVU）估計等，這些方法一般都包括矩陣求逆的過程。在大規模MIMO中，由於信號的維度較大，傳統的信道估計方法計算複雜度過高，因此需要採用複雜度較低的信道估計方法。
在TDD模式下，上行通信和下行通信採用相同的頻段，並假設上行信道和下行信道具有互易性。以一個小區爲例，小區內的各個用戶採用同步方式通過上行鏈路發送導頻序列，小區內的基站接收這些導頻序列並進行相應的處理得到上行信道的信道估計，然後再由下行鏈路傳輸信道信息與數據信息[ 1 ] ^{[1]} [ 1 ] 。
理論研究發現，當基站（Base Station，BS）的天線數無限增加時，熱噪聲和小區內其他用戶干擾對信道估計和符號檢測的影響均會消失，限制性能的唯一因素是在其他小區複用了期望小區的導頻序列而引起的同頻干擾，這一現象稱爲導頻污染（Pilot Contamination，PC）[ 2 ] ^{[2]} [ 2 ] 。
當前用於大規模MIMO技術中的導頻設計爲[ 3 , 4 ] ^{[3,4]} [ 3 , 4 ]
由於FDD模式下進行信道估計需要佔用較多的頻譜資源，目前針對大規模MIMO的信道估計研究主要集中在TDD模式下。當天線數量無限增大時，導頻污染問題成爲制約系統性能的唯一因素。如何解決導頻污染問題亦成爲導頻設計與信道估計的關鍵。
訓練符號可以用於信道估計，通常能夠提供較好的性能。然而，除了發射數據符號外， 還需要發射前導或導頻信號，由此產生的負荷會降低傳輸效率.當可以獲得訓練符號時，最小二乘( LS )和線性最小均方誤差(LMMSE) 技術被廣泛應用於信道估計。
假設所有子載波是正交的，即沒有ICl，那麼可以將N 個子載波的訓練符號表示成矩陣形式：X = [ X [ 0 ] 0 ⋯ 0 0 X [ 1 ] ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 X [ N − 1 ] ]
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccc}
X[0] & 0 & \cdots & 0 \\
0 & X[1] & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & X[N-1]
\end{array}\right]
X = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ X [ 0 ] 0 ⋮ 0 0 X [ 1 ] ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 ⋮ 0 X [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
其中X [ k ] X[k] X [ k ] k k k E { X [ k ] } = 0 , Var { X [ k ] } = σ 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 , E\{X[k]\}=0,\operatorname{Var}\{X[k]\}=\sigma^{2},k=0,1,2, \cdots, N-1, E { X [ k ] } = 0 , V a r { X [ k ] } = σ 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 , X \mathbf X X k k k H [ k ] H[k] H [ k ] Y [ k ] Y[k] Y [ k ] Y ≜ [ Y [ 0 ] Y [ 1 ] ⋮ Y [ N − 1 ] ] = [ X [ 0 ] 0 ⋯ 0 0 X [ 1 ] ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 X [ N − 1 ] ] [ H [ 0 ] H [ 1 ] ⋮ H [ N − 1 ] ] + [ Z [ 0 ] Z [ 1 ] ⋮ Z [ N − 1 ] ] = X H + Z
\begin{array}{rl}
\mathbf{Y} & \triangleq \left[\begin{array}{c}
Y[0] \\
Y[1] \\
\vdots \\
Y[N-1]
\end{array}\right] \\
\end{array}=
\left[\begin{array}{cccc}
X[0] & 0 & \cdots & 0 \\
0 & X[1] & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & X[N-1]
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
H[0] \\
H[1] \\
\vdots \\
H[N-1]
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
Z[0] \\
Z[1] \\
\vdots \\
Z[N-1]
\end{array}\right]
=\mathbf{X} \mathbf{H}+\mathbf{Z}
Y ≜ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Y [ 0 ] Y [ 1 ] ⋮ Y [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ X [ 0 ] 0 ⋮ 0 0 X [ 1 ] ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 ⋮ 0 X [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ H [ 0 ] H [ 1 ] ⋮ H [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Z [ 0 ] Z [ 1 ] ⋮ Z [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = X H + Z
其中，信道向量 H = [ H [ 0 ] , H [ 1 ] , ⋯ , H [ N − 1 ] ] T \mathbf{H}=[H[0], H[1], \cdots, H[N-1]]^{T} H = [ H [ 0 ] , H [ 1 ] , ⋯ , H [ N − 1 ] ] T Z = [ Z [ 0 ] , Z [ 1 ] , ⋯ Z [ N − 1 ] ] T , \mathbf{Z}=[{Z}[0], Z[1], \cdots Z[N-1]]^{T}, Z = [ Z [ 0 ] , Z [ 1 ] , ⋯ Z [ N − 1 ] ] T , E { Z [ k ] } = 0 , Var { Z [ k ] } = σ z 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 E\{Z[k]\}=0, \operatorname{Var}\{Z[k]\}=\sigma_{z}^{2},k=0,1,2, \cdots, N-1 E { Z [ k ] } = 0 , V a r { Z [ k ] } = σ z 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 H ^ \hat{\mathbf H} H ^ H \mathbf {H} H
假設所有子載波是正交的，即沒有ICI。
ICI：多載波通信系統對載波頻率偏移十分敏感，尤其對於多用戶並行傳輸的無線通信上行鏈路，不同用戶的發射信號具有不同的頻率偏移，這種由多個獨立頻偏導致的子載波間干擾（Inter-Carrier Interference，ICI）問題較爲嚴重，必須設計出高效的信號處理方法加以抑制。此外，在高速移動的無線信道下，由於多普勒擴展很大，信道將在一個多載波符號內產生時變，由此引起的 ICI 問題也將十分嚴重。
爲了得到信道估計H ^ \hat {\mathbf H} H ^ J ( H ^ ) = ∥ Y − X H ^ ∥ 2 = ( Y − X H ^ ) H ( Y − X H ^ ) = Y H Y − Y H X H ^ − H ^ H X H Y + H ^ H X H X H ^
\begin{aligned}
J(\hat{\mathbf{H}}) &=\|\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\|^{2} \\
&=(\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}})^{{H}}(\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}) \\
&=\mathbf{Y}^{{H}} \mathbf{Y}-\mathbf{Y}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}-\hat{\mathbf{H}}^{{H}} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}+\hat{\mathbf{H}}^{{H}} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}
\end{aligned}
J ( H ^ ) = ∥ Y − X H ^ ∥ 2 = ( Y − X H ^ ) H ( Y − X H ^ ) = Y H Y − Y H X H ^ − H ^ H X H Y + H ^ H X H X H ^
今上面的代價函數關於H ^ \hat{\mathbf H} H ^ ∂ J ( H ^ ) ∂ H ^ = − 2 ( X H Y ) H + 2 ( X H X H ^ ) H = 0
\frac{\partial J(\hat{\mathbf{H}})}{\partial \hat{\mathbf{H}}}=-2\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}\right)^{H}+2\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\right)^{H}=0
∂ H ^ ∂ J ( H ^ ) = − 2 ( X H Y ) H + 2 ( X H X H ^ ) H = 0
然後可以得到 X H X H ^ = X H Y \mathbf X^H\mathbf X\hat{\mathbf H}=\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y} X H X H ^ = X H Y H ^ L S = ( X H X ) − 1 X H Y = X − 1 Y
\hat{\mathbf{H}}_{{LS}}=\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}
H ^ L S = ( X H X ) − 1 X H Y = X − 1 Y
注意上式中，X − 1 \mathbf{X}^{-1} X − 1 X \mathbf{X} X
令 H ^ L S [ k ] \hat{H}_{{LS}}[k] H ^ L S [ k ] H ^ L S \hat{\mathbf{H}}_{{LS}} H ^ L S k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 k=0,1,2, \cdots, N-1 k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 X \mathbf X X H ^ L S [ k ] = Y [ k ] X [ k ] , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1
\hat{H}_{{LS}}[k]=\frac{Y[k]}{X[k]}, \quad k=0,1,2, \cdots, N-1
H ^ L S [ k ] = X [ k ] Y [ k ] , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1
LS 信道估計的均方誤差(MSE) 爲MSE L S = E { ( H − H ^ L S ) H ( H − H L S ) } = E { ( H − X − 1 Y ) H ( H − X − 1 Y ) } = E { ( X − 1 Z ) H ( X − 1 Z ) } = E { Z H ( X X H ) − 1 Z } = σ z 2 σ x 2
\begin{aligned}
\operatorname{MSE}_{{LS}} &=E\left\{\left(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}_{{LS}}\right)^{{H}}\left(\mathbf{H}-\mathbf{H}_{{LS}}\right)\right\} \\
&=E\left\{\left(\mathbf{H}-\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)^{{H}}\left(\mathbf{H}-\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)\right\} \\
&=E\left\{\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)^{H}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)\right\} \\
&=E\left\{\mathbf{Z}^{{H}}\left(\mathbf{X X}^{{H}}\right)^{-1} \mathbf{Z}\right\} \\
&=\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}
\end{aligned}
M S E L S = E { ( H − H ^ L S ) H ( H − H L S ) } = E { ( H − X − 1 Y ) H ( H − X − 1 Y ) } = E { ( X − 1 Z ) H ( X − 1 Z ) } = E { Z H ( X X H ) − 1 Z } = σ x 2 σ z 2
注意，上式中的MSE 與信噪比σ x 2 / σ z 2 {\sigma_{x}^{2}}/{\sigma_{z}^{2}} σ x 2 / σ z 2
考慮5.2.1中的LS 解，即H ^ L S = X − 1 Y ≜ H ~ \hat{\mathbf H}_{{LS}}=\mathbf X^{-1} \mathbf Y \triangleq \tilde{\mathbf H} H ^ L S = X − 1 Y ≜ H ~ W \mathbf W W H ^ ≜ W H ~ \hat{\mathbf H} \triangleq \mathbf W \tilde{\mathbf H} H ^ ≜ W H ~ H ^ \hat{\mathbf H} H ^ J ( H ^ ) = E { ∥ e ∥ 2 } = E { ∥ H − H ^ ∥ 2 }
J(\hat{\mathbf H})=E\left\{\|\mathbf e\|^{2}\right\}=E\left\{\|\mathbf H-\hat{\mathbf H}\|^{2}\right\}
J ( H ^ ) = E { ∥ e ∥ 2 } = E { ∥ H − H ^ ∥ 2 } W \mathbf W W e = H − H ^ \mathbf e=\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}} e = H − H ^ H ~ \tilde{\mathbf {H}} H ~ E { e H ~ H } = E { ( H − H ^ ) H ~ H } = E { ( H − W H ~ ) H ~ H } = E { H H ~ H } − W E { H ~ H ~ H } = R H H ~ − W R H ~ H ~ = 0
\begin{aligned}
E\left\{\mathbf e \tilde{\mathbf{H}}^{H}\right\} &=E\left\{(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}) \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{(\mathbf{H}-\mathbf{W} \tilde{\mathbf{H}}) \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\}-\mathbf{W} E\left\{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=\mathbf {R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}-\mathbf W \mathbf R_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf H}}=\mathbf {0}
\end{aligned}
E { e H ~ H } = E { ( H − H ^ ) H ~ H } = E { ( H − W H ~ ) H ~ H } = E { H H ~ H } − W E { H ~ H ~ H } = R H H ~ − W R H ~ H ~ = 0
其中，R A B \mathbf{R}_{A B} R A B A \mathbf{A} A B \mathbf{B} B R A B = E { A B H } \mathbf{R}_{\mathbf A \mathbf B}=E\left\{\mathbf A \mathbf{B}^{{H}}\right\} R A B = E { A B H } H ~ \tilde {\mathbf{H}} H ~ H ~ = X − 1 Y = H + X − 1 Z
\tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}=\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}
H ~ = X − 1 Y = H + X − 1 Z
於是可得，W = R H H ~ R H ~ H ~ − 1
\mathbf{W}=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}}^{-1}
W = R H H ~ R H ~ H ~ − 1
其中，R H ~ H ~ \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}} R H ~ H ~ H ~ \tilde{\mathbf {H}} H ~ R H ~ H ~ = E { H ~ H ~ H } = E { X − 1 Y ( X − 1 Y ) H } = E { ( H + X − 1 Z ) ( H + X − 1 Z ) H } = E { H H H + X − 1 Z H H + H Z H ( X − 1 ) H + X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + E { X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + σ z 2 σ x 2 I
\begin{aligned}
\mathbf{R}_{\tilde{\mathbf H} \tilde{\mathbf H}} &=E\left\{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{\left(\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)\left(\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{H}^{\mathrm{H}}+\mathbf{H} \mathbf{Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}\right\}+E\left\{\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\
&=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}\right\}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} \mathbf{I}
\end{aligned}
R H ~ H ~ = E { H ~ H ~ H } = E { X − 1 Y ( X − 1 Y ) H } = E { ( H + X − 1 Z ) ( H + X − 1 Z ) H } = E { H H H + X − 1 Z H H + H Z H ( X − 1 ) H + X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + E { X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + σ x 2 σ z 2 I
R H H ~ \mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} R H H ~ H ^ L M M S E = W H ~ = R H H ~ R H ~ H ~ − 1 H ~ = R H H ~ ( R H H + σ z 2 σ x 2 I ) − 1 H ~
\begin{aligned}
&\hat{\mathbf{H}}_{LMMSE}=\mathbf{W} \tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf H}}^{-1} \tilde{\mathbf{H}}\\
&=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}\left(\mathbf{R}_{\mathbf{H} {\mathbf{H}}}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} I\right)^{-1} \tilde{\mathbf H}
\end{aligned}
H ^ L M M S E = W H ~ = R H H ~ R H ~ H ~ − 1 H ~ = R H H ~ ( R H H + σ x 2 σ z 2 I ) − 1 H ~
基於導頻的信道估計算法如LS算法、MMSE算法、LMMSE算法和MVU算法等都包括矩陣求逆的過程。如果發射天線與接收天線均不存在相干性，則信道的協方差矩陣爲對角矩陣，矩陣求逆的複雜度較低。然而，由於大規模MIMO天線數量大，天線之間的間隔距離難以滿足半波長要求，加上覆雜的電波傳播環境，使得天線之間具有明顯的相關性，因此信道的協方差矩陣不能近似爲對角矩陣 。基於以上原因，大規模MIMO的信道估計中，矩陣求逆的計算複雜度非常大 ，因此傳統的信道估計方法不能直接應用在大規模MIMO中，必須採用低複雜度的大規模MIMO信道估計方法。
[1] Ngo H Q, Larsson E G, Marzetta T L. Energy and spectral efficiency of very large multiuser MIMO systems[J]. Communications, IEEE Transactions on, 2013, 61(4): 1436-1449.
