大学计算机基础C语言实验习题选（1）实验4-3 循环结构-判素数 四种做法 Miller-Rabin素性测试 孪生素数（6倍数判别法） 朴素做法 朴素改进

实验4-3 循环结构-判素数

编写程序sushu.c，输入一个正整数n(n>2)，判断n是否为素数。

格式要求 输入：scanf("%d",&n) 输出： (1)如果n<=2，则printf(“ERROR”)
(2)如果是素数，则printf("%d是素数", n) 否则printf("%d不是素数", n)

保存，编译、运行、测试成功后将源程序文件（.c或.cpp）压缩，提交。

方法一 朴素做法

时间复杂度：O（n）
直接一个一个筛

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<=2)
    {
        printf("ERROR");
    }
    else
    {
        bool is_prime=true;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                is_prime=false;
            }
        }
        if(is_prime)
        {
            printf("%d是素数",n);
        }
        else
        {
            printf("%d不是素数",n);
        }
    }
    return 0;
}

方法二：方法一改进

时间复杂度：O（根号n）
如果是偶数，且不是2，肯定不是素数
想象因式分解。3*4=12，不必要从2一直筛到n-1，直接筛到即可
这里最好不要用sqrt函数，计算机中，平方运算所需cpu周期比根号少得多，故更快些

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<=2)
    {
        printf("ERROR");
    }
    else if(n%2==0&&n!=2)
    {
        printf("%d不是素数",n);
    }
    else
    {
        bool is_prime=true;
        for(int i=2;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                is_prime=false;
            }
        }
        if(is_prime)
        {
            printf("%d是素数",n);
        }
        else
        {
            printf("%d不是素数",n);
        }
    }
    return 0;
}

方法三：6倍数判别法

时间复杂度：O（根号n）是松的时间复杂度，实际上比上一个快2-4倍
这里有一个数学定理:大于等于5的质素一定和6的倍数相邻
详细解答请转步知乎
如何证明大于等于5的质素一定和6的倍数相邻？
其实就是孪生质数，有兴趣的读者可以去网上搜索了解

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<=2)
    {
        printf("ERROR");
    }
    else if(n%2==0&&n!=2)
    {
        printf("%d不是素数",n);
    }
    else
    {
        int i,is_prime=1;
        if(n%6!=1&&n%6!=5)
        {
            is_prime=0;
        }
        else
        {
            for(i=5;i*i<=n;i+=6)
            {
                if(n%i==0||n%(i+2)==0)
                {
                    is_prime=0;
                }
            }
        }
        if(is_prime)
        {
            printf("%d是素数",n);
        }
        else
        {
            printf("%d不是素数",n);
        }
    }
    return 0;
}

方法四：Miller-Rabin素性测试

采用了随机抽样测试的方法，实际上有可能会判不准，因为费马小定理的逆命题实际上是错的，但是其发生概率实际很低

在测试质数时，抽样法是一个非常有用的工具。下面给出一种质数判定方法：
对于待判定的整数n。设n－1＝d×2s（d是奇数）。对于给定的基底a，若ad≡1 (mod n)，或存在0≤r<s使a≡－1 (mod
n)，则称n为以a为底的强伪质数。利用二分法，可以在O(logn)的时间内判定n是否为以a为底的强伪质数。
对于合数c，以小于c的数为底，c至多有1/4的机会为强伪质数。

如果不是随机抽样，而是抽样特殊情况——最小的几个质数，则： 如果只用2一个数进行测试，最小的强伪质数（反例）是2047，所以一个数显然不够；
如果用2和3两个数进行测试，最小的强伪质数为1373653，大于106；
如果用2,3,5进行测试，最小的强伪质数为25326001，大于2×107；
如果用2,3,5,7进行测试，最小的强伪质数为3215031751，大于3×109，已经比32位带符号整数的最大值还大了。
可见，通常只要抽取2,3,5,7这几个固定的数进行测试就能保证测试的正确性了。

适用于大数素性判断，用到了费马小定理
感兴趣的读者可以看以下两篇文章
Miller-Rabin素性测试算法详解
素数与素性测试（Miller-Rabin测试
这在ACM中有可能会遇到，杀鸡焉用牛刀，上面三种交学校的实验够用了
这里用C语言实现

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
ll pow_mod(ll a,ll b,ll r)
{
    ll ans=1,buff=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*buff)%r;
        }
        buff=(buff*buff)%r;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll test(ll n,ll a,ll d)
{
    if(n==2)
    {
        return 1;
    }
    if(n==a)
    {
        return 0;
    }
    if(d%2==0)
    {
        d>>=1;
    }
    int t=pow_mod(a,d,n);
    while(d!=n-1&&t!=n-1&&t!=1)
    {
        t=t*t%n;
        d<<=1;
    }
    return t==n-1||(d&1)==1;
}
ll isprime(ll n)
{
    int a[]={2,3,5,7};
    for(int i=0;i<=3;i++)
    {
        if(n==a[i])
        {
            return 1;
        }
        if(!test(n,a[i],n-1))
        {
            return 0;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<=2)
    {
        printf("ERROR");
    }
    else if(n%2==0&&n!=2)
    {
        printf("%d不是素数",n);
    }
    else
    {
        if(isprime(n))
        {
            printf("%d是素数",n);
        }
        else
        {
            printf("%d不是素数",n);
        }
    }
    return 0;
}