51Nod 2456 最小約數 V2 質數

1. 題目描述

1.1. Limit

Time Limit: 1000 ms

Memory Limit: 131072 kB

1.2. Problem Description

給出$n$個數，將這個$n$數進行分組，分組規則爲：除了1以外最小的約數相同的數字分爲一組。最後，輸出這個最小約數，同時按照從小到大的順序逐一輸出這些數字。

例如：7個數，35 8 39 12 8 26 25
輸出爲：

2 8 8 12 26（ [8, 8, 12, 26] 爲給定的7個數中，以2爲最小約數（除1以外）的數）
3 39（ [39] 爲給定的7個數中，以3爲最小約數（除1以外）的數）
5 25 35（ [25， 35] 爲給定的7個數中，以5爲最小約數（除1以外）的數）

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1.3. Input

第一行：1個數$n（n \le 1000）$
後面 $n$ 行，每行1個數 $a[i]（2 <= a[i] <= 10000）$

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1.4. Output

按照約數 $d$ 從小到大的順序，逐行輸出所有最小約數（除了1之外的）爲 $d$ 的數字，並且每行中輸出數字的順序也是從小到大。

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1.5. Sample Input

7
35
8
39
12
8
26
25

1.6. Sample Output

2 8 8 12 26
3 39
5 25 35

1.7. Source

51Nod 2456 最小約數 V2

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2. 解讀

這道題有兩個部分需要完成

1. 分解最小約數
2. 分組排序輸出

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首先我們考慮分解最小約數的問題。

給定一個數 $x$ ，要找到其除了1以外最小的約數 $d$，以此可以推斷我們要找的這個約數肯定是一個質數，因爲如果 $d$ 不是一個質數，那麼我們只要對其再做一次質數分解，就可以求得比它更小的一個約數。

明確了我們要找的數是一個質數以後，我們可以考慮在求出質數表以後用暴力搜索的方法來求解。結合這道題的數據範圍 $[1, 10000]$ 考慮，在這個範圍裏面只有1229個質數，而輸入也最多隻有1000個數，$1229 \times 1000 = 1.229 \times 10 ^6$，也就是說在求出一萬以內的質數以後，我們最多隻要再做100多萬次運算就能求出結果。

而我們使用的求質數的埃氏篩算法的複雜度也是$O(n \log\log n)$的，接近$O(n)$複雜度，所以和搜索加起來總共也就一百多萬次運算。參考一臺普通的筆記本電腦1秒大概1千萬次的運算速度，我們是可以在1秒以內完成暴力搜索過程的。

下面對埃氏篩算法做簡單的說明，這個算法可以快速找到$[2, n]$以內的質數。對於初始隊列 $\{1, 2, 3, \dots n \}$，操作步驟如下 ¹

1. 輸出最小的素數2，然後篩掉2的倍數，剩下 $\{ 3, 5, 7, 9, 11, 13\dots \}$
2. 輸出最小的質數3，然後篩掉3的倍數，剩下 $\{5, 7, 11, 13\dots \}$
3. 輸出最小的質數5，然後篩掉5的倍數，剩下 $\{ 7, 11, 13\dots \}$
4. 繼續以上的步驟，直到隊列爲空

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然後考慮分組排序輸出的問題。

我使用的是 map<int, multiset<int>> 來存儲結果，因爲 map 能對 key 也就是最小約數進行排序，而 set 能對值排序，考慮到值可能重複，這裏使用的是可存儲重複項的 multiset。

3. 代碼

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <string.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e4;

// 存儲素數
int prime[MAXN + 1];
// 標記訪問
bool visit[MAXN + 1];
// 分類存儲
map<int, multiset<int>> mp;

// 埃氏篩法，計算[2, n]內的素數
int E_sieve(int n)
{
    // 初始化
    memset(visit, 0, sizeof(visit));
    // 篩掉非素數
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (!visit[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                // 標記爲非素數
                visit[j] = true;
            }
        }
    }
    // 下面記錄素數
    // 統計素數的個數
    int k = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!visit[i]) {
            prime[k++] = i;
        }
    }
    return k;
}

int main()
{
    // 計算1e4以內的素數
    int primeMark = E_sieve(MAXN);
    // test case
    int t;
    scanf("%d", &t);
    // buffer
    int buffer;

    // 循環
    for (int i = 0; i < t; i++) {

        // 輸入
        scanf("%d", &buffer);
        // 找到其質數分解後，除1以外的的最小質數
        int j = 0;
        // 若質數小於buffer
        while (prime[j] <= buffer && j < primeMark) {
            // 找到的第一個質數
            if (buffer % prime[j] == 0) {
                if (mp.find(prime[j]) != mp.end()) {
                    // 若已存儲過
                    mp[prime[j]].insert(buffer);
                } else {
                    // 若未存儲過
                    multiset<int> st;
                    st.insert(buffer);
                    mp[prime[j]] = st;
                }
                // 退出循環
                break;
            }
            j++;
        }
    }
    // 輸出
    for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) {
        printf("%d ", it->first);
        for (auto itSet = it->second.begin(); itSet != it->second.end(); itSet++) {
            printf("%d ", *itSet);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

4. 參考文獻

[1] 羅勇軍, 郭衛斌. 算法競賽入門到進階 [M]. 北京: 清華大學出版社, 2019.

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