應用連續高斯模糊後得到的σ是多少？

對圖像應用多個連續的高斯模糊效果與應用單個較大的高斯模糊效果相同，後者的半徑是實際應用的模糊半徑的平方和的平方根。例如，應用半徑爲$6$和$8$的連續高斯模糊與應用半徑爲$10$的單個高斯模糊產生的結果相同，因爲$\sqrt{6^2+8^2} =10$。

但是我找不到任何證據，爲什麼會這樣呢？

而且我還發現，在某些代碼中，人們會考慮將兩個連續的高斯模糊 $\sigma_1$ 和$\sigma_2$用只是一個模糊$\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$代替。

我們如何證明這一結論？

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證明如下：

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可以使用一些簡單的卷積理論來證明。首先，回想一下卷積：$f *(g * h)=(f * g) * h$
接下來回想一下高斯模糊圖像$I$就是簡單地對高斯核函數$G$進行卷積，$G(x, y | \sigma)=\left(2 \pi \sigma^{2}\right)^{-1} \exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)$

所以高斯模糊兩次就相當於卷積兩次：$I_{B}=G_{1} *\left(G_{2} * I\right)=\left(G_{1} * G_{2}\right) * I=G * I$，我們知道$G$是一個高斯核，因爲兩個高斯的卷積是一個高斯。

現在我們只需要證明：$G(x, y | \sigma)=G(x, y | \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}})=G_{1}\left(x, y | \sigma_{1}\right) * G_{2}\left(x, y | \sigma_{2}\right)$

一種方法是通過定義:計算
$G(x, y | \sigma)=\iint_{-\infty}^{\infty} G_{1}\left(\tau, \xi | \sigma_{1}\right) * G_{2}\left(x-\tau, y-\xi | \sigma_{2}\right) d \tau d \xi$
這將最終等於期望的結果(參見）。

但是，有一些使用簡單概率論的簡便方法。回想一下，兩個獨立隨機變量的總和給出了一個隨機變量，其密度等於兩個總和隨機變量的卷積。如果$A \sim \mathcal{N}\left(\mu_{A}, \sigma_{A}^{2}\right)$，$B \sim \mathcal{N}\left(\mu_{B}, \sigma_{B}^{2}\right)$是獨立的，那麼$C=A+B$有$A \sim \mathcal{N}\left(\mu_{A}+\mu_{B}, \sigma_{A}^{2}+\sigma_{B}^{2}\right)$。多元推廣也是如此。

請注意,如果$X_{1} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_{1}^{2} I_{2}\right)$, $X_{2} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_{2}^{2} I_{2}\right)$，那麼它們有密度函數分別是$G_1$和$G_2$。因此總和$Z=X_{1}+X_{2}$具有$G=G_1*G_2$給出的密度函數。

但是我們知道$Z \sim \mathcal{N}\left(0+0, \sigma_{1}^{2} I_{2}+\sigma_{2}^{2} I_{2}\right)=\mathcal{N}\left(0,\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) I_{2}\right)$，因此，$Z$的密度函數爲:
$\begin{aligned} p_{Z}(z) &=\frac{1}{\sqrt{4 \pi^{2}|\Sigma|}} \exp \left(-\frac{1}{2}(z-0)^{T} \Sigma^{-1}(z-0)\right) \\ &=\frac{1}{2 \pi\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)} \exp \left(-\frac{1}{2} \frac{z^{T} z}{\left[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right]}\right) \\ &=\frac{1}{2 \pi\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)} \exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\left[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right]}\right) \\ &=G(x, y | \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}) \\ &=G(x, y | \sigma) \end{aligned}$

這裏$z=(x, y)$ and $|\Sigma|=\left|\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) I_{2}\right|=\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)^{2}$。

所以：$\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$。

[參考內容]
【1】內容1
【2】內容2
【3】內容3
【4】內容4
【5】內容5
【6】內容6