《戀上數據結構第1季》二叉樹基礎知識（性質、真二叉樹、滿二叉樹、完全二叉樹、遍歷...）

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簡單的看一下樹形結構：

生活中的樹形結構：

• 使用樹形結構可以大大提高效率；
• 樹形結構是算法面試的重點；

樹（Tree）的基本概念

節點、根節點、父節點、子節點、兄弟節點；

• 一棵樹可以沒有任何節點，稱爲空樹
• 一棵樹可以只有 1 個節點，也就是隻有根節點

子樹、左子樹、右子樹；

節點的度（degree）：子樹的個數；

樹的度：所有節點度中的最大值；

葉子節點（leaf）：度爲 0 的節點；

非葉子節點：度不爲 0 的節點；

層數（level）：根節點在第 1 層，根節點的子節點在第 2 層，以此類推（有些教程也從第 0 層開始計算）

節點的深度（depth）：從根節點到當前節點的唯一路徑上的節點總數；

節點的高度（height）：從當前節點到最遠葉子節點的路徑上的節點總數；

樹的深度：所有節點深度中的最大值；
樹的高度：所有節點高度中的最大值；
數的深度 等於 樹的高度；

有序樹、無序樹、森林

有序樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關係；

無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，也稱爲 “自由樹”；

森林：由 m（m ≥ 0）棵互不相交的樹組成的集合；

二叉樹（Binary Tree）

二叉樹的特點：

• 每個節點的度最大爲 2（最多擁有 2 棵子樹）
• 左子樹和右子樹是有順序的，二叉樹是有序樹
• 即使某節點只有一棵子樹，也要區分左右子樹
  

二叉樹的性質

非空二叉樹的第 i 層，最多有 2ⁱ⁻¹ 個節點（ i ≥ 1 ）

在高度爲 h 的二叉樹上最多有 2^h-1 個結點（ h ≥ 1 ）

對於任何一棵非空二叉樹，如果葉子節點個數爲 n0，度爲 2 的節點個數爲 n2，則有：n0 = n2 + 1

• 假設度爲 1 的節點個數爲 n1，那麼二叉樹的節點總數 n = n0 + n1 + n2
• 二叉樹的邊數 T = n1 + 2 * n2 = n – 1 = n0 + n1 + n2 – 1
• 因此 n0 = n2 + 1

真二叉樹（Proper Binary Tree）

真二叉樹：所有節點的度都要麼爲 0，要麼爲 2

下圖不是真二叉樹：

滿二叉樹（Full Binary Tree）

滿二叉樹：最後一層節點的度都爲 0，其他節點的度都爲 2

假設滿二叉樹的高度爲 h（ h ≥ 1 ），那麼

• 第 i 層的節點數量： 2ⁱ⁻¹
• 葉子節點數量： 2^h−1
• 總節點數量 n
  • n = 2^h − 1 = 2⁰ + 2¹ + 2² + ⋯ + 2^h−1
• 樹高度與總節點的關係：h = log₂(n + 1)

在同樣高度的二叉樹中，滿二叉樹的葉子節點數量最多、總節點數量最多；
滿二叉樹一定是真二叉樹，真二叉樹不一定是滿二叉樹；

完全二叉樹（Complete Binary Tree）

完全二叉樹：對節點從上至下、左至右開始編號，其所有編號都能與相同高度的滿二叉樹中的編號對應

完全二叉樹的性質：

• 度爲 1 的節點只有左子樹
• 度爲 1 的節點要麼是 1 個，要麼是 0 個
• 同樣節點數量的二叉樹，完全二叉樹的高度最小
• 假設完全二叉樹的高度爲 h（ h ≥ 1 ），那麼：
  • 至少有 2^h−1 個節點 （ 2⁰ + 2¹ + 2² + ⋯ + 2^h−2 + 1 ）
  • 最多有 2^h − 1 個節點（ 2⁰ + 2¹ + 2² + ⋯ + 2^h−1，即 滿二叉樹 ）
  • 總節點數量爲 n
    2^h−1 ≤ n < 2^h
    h − 1 ≤ log₂n < h
    h = floor( log₂n ) + 1
    （ floor 是向下取整，ceiling 是向上取整 ）

下圖不是完全二叉樹：

面試題（完全二叉樹）

國外教材的說法：瞭解一下

二叉樹的遍歷 + 練習題

遍歷是數據結構中的常見操作：把所有元素都訪問一遍；

線性數據結構的遍歷比較簡單：

• 正序遍歷
• 逆序遍歷

根據節點訪問順序的不同，二叉樹的常見遍歷方式有 4 種：

• 前序遍歷（Preorder Traversal）
• 中序遍歷（Inorder Traversal）
• 後序遍歷（Postorder Traversal）
• 層序遍歷（Level Order Traversal）

遍歷的應用：

• 前序遍歷：樹狀結構展示（注意左右子樹的順序）
• 中序遍歷：二叉搜索樹的中序遍歷按升序或者降序處理節點
• 後序遍歷：適用於一些先子後父的操作
• 層序遍歷：計算二叉樹的高度、判斷一棵樹是否爲完全二叉樹

前序遍歷（Preorder Traversal）

訪問順序：根節點、前序遍歷左子樹、前序遍歷右子樹

下圖前序遍歷的結果是：7、4、2、1、3、5、9、8、11、10、12

二叉樹的前序遍歷：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-preorder-traversal/

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
	List<Integer> list = new ArrayList<>();
	public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root == null) return list;
        
        list.add(root.val);
        preorderTraversal(root.left);
        preorderTraversal(root.right);
        
        return list;
    }
}

中序遍歷（Inorder Traversal）

訪問順序：中序遍歷左子樹、根節點、中序遍歷右子樹
下圖中序遍歷的結果是：1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、12

另一種中序遍歷訪問順序：中序遍歷右子樹、根節點、中序遍歷左子樹
則下圖的中序遍歷的結果是：12、11、10、9、8 、7、5、4、3、2、1

二叉搜索樹的中序遍歷結果是升序或者降序的；

二叉樹的中序遍歷： https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
	List<Integer> list = new ArrayList<>();
    public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
    	if(root == null) return list;
    	inorderTraversal(root.left);
    	list.add(root.val);
    	inorderTraversal(root.right);
    	return list;
    }
}

後序遍歷（Postorder Traversal）

訪問順序：後序遍歷左子樹、後序遍歷右子樹、根節點
下圖的後序遍歷的結果是：1、3、2、5、4、8、10、12、11、9、7

二叉樹的後序遍歷： https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-postorder-traversal/

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
	List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
    public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root == null) return list;
        postorderTraversal(root.left);
        postorderTraversal(root.right);
        list.add(root.val);
        return list;
    }
}

層序遍歷（Level Order Traversal）

訪問順序：從上到下、從左到右依次訪問每一個節點
下圖的層序遍歷的結果是：7、4、9、2、5、8、11、1、3、10、12

二叉樹的層次遍歷： https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
	List<List<Integer>> resList = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
    	if(root == null) return resList;
    	
    	Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    	int levelSize = 1;
    	queue.offer(root);
    
    	
    	List<Integer> list = new ArrayList<>(); ;
    	while(!queue.isEmpty()){
    		TreeNode node = queue.poll();
    		list.add(node.val);
    		levelSize--;
    		
    		if(node.left != null){
    			queue.offer(node.left);
    		}
    		if(node.right != null){
    			queue.offer(node.right);
    		}

    		if(levelSize == 0){
    			resList.add(list);
                levelSize = queue.size();
    			list = new ArrayList<>();
    		}
    	}
    	return resList;
    }
}

根據遍歷結果重構二叉樹

以下結果可以保證重構出唯一的一棵二叉樹：

• 前序遍歷 + 中序遍歷
• 後序遍歷 + 中序遍歷

前序遍歷 + 後序遍歷：

• 如果它是一棵真二叉樹（Proper Binary Tree），結果是唯一的
• 不然結果不唯一

前序遍歷+中序遍歷 重構二叉樹

前驅節點（predecessor）

後繼節點（successor）

四則運算

四則運算的表達式可以分爲3種：

• 前綴表達式（prefix expression），又稱爲波蘭表達式
• 中綴表達式（infix expression）
• 後綴表達式（postfix expression），又稱爲逆波蘭表達式

表達式樹

練習

翻轉二叉樹

226_翻轉二叉樹：https://leetcode-cn.com/problems/invert-binary-tree/

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
	public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
		if(root == null) return root;
		
		Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
		queue.offer(root);
		while(!queue.isEmpty()){
			TreeNode node = queue.poll();
			
			TreeNode treeNode = node.left;
			node.left = node.right;
			node.right = treeNode;
			
			if(node.left != null){
				queue.offer(node.left);
			}
			if(node.right != null){
				queue.offer(node.right);
			}
		}
		return root;
	}
}

二叉樹的最大深度

104_二叉樹的最大深度：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
    	if(root == null) return 0;
    	return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));
    }
}