《戀上數據結構第1季》B樹

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B樹是一種平衡的多路搜索樹，多用於文件系統、數據庫的實現；

仔細觀察B樹，有什麼眼前一亮的特點？

• 1 個節點可以存儲超過 2 個元素、可以擁有超過 2 個子節點
• 擁有二叉搜索樹的一些性質
• 平衡，每個節點的所有子樹高度一致
• 比較矮

m階B樹的性質

數據庫實現中一般用幾階B樹？

• 200 ~ 300

B樹 vs 二叉搜索樹

B樹 和 二叉搜索樹，在邏輯上是等價的；

多代節點合併，可以獲得一個超級節點

• 2 代合併的超級節點，最多擁有 4 個子節點（至少是 4 階B樹）
• 3 代合併的超級節點，最多擁有 8 個子節點（至少是 8 階B樹）
• n 代合併的超級節點，最多擁有 2ⁿ 個子節點（ 至少是 2ⁿ 階B樹）

m 階 B樹，最多需要 log2^m 代合併；

搜索

跟二叉搜索樹的搜索類似：

1. 先在節點內部從小到大開始搜索元素
2. 如果命中，搜索結束
3. 如果未命中，再去對應的子節點中搜索元素，重複步驟 1

添加 – 上溢

新添加的元素必定是添加到葉子節點：

插入 55：

插入 95：

再插入 98 呢？（假設這是一棵 4階B樹）

• 最右下角的葉子節點的元素個數將超過限制
• 這種現象可以稱之爲：上溢（overflow）

添加 – 上溢的解決(假設5階)

上溢節點的元素個數必然等於 m；

假設上溢節點最中間元素的位置爲 k

• 將 k 位置的元素向上與父節點合併
• 將 [0, k - 1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 個子節點
  這 2 個子節點的元素個數，必然都不會低於最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）

一次分裂完畢後，有可能導致父節點上溢，依然按照上述方法解決

• 最極端的情況，有可能一直分裂到根節點

添加示例：

插入 98：

插入 52：

插入 54：

刪除

刪除 – 葉子節點

假如需要刪除的元素在葉子節點中，那麼直接刪除即可；
例：刪除 30

刪除 – 非葉子節點

假如需要刪除的元素在非葉子節點中

1. 先找到前驅或後繼元素，覆蓋所需刪除元素的值
2. 再把前驅或後繼元素刪除

例：刪除 60

非葉子節點的前驅或後繼元素，必定在葉子節點中；

• 所以這裏的刪除前驅或後繼元素 ，就是最開始提到的情況：刪除的元素在葉子節點中
• 真正的刪除元素都是發生在葉子節點中；

刪除 – 下溢

刪除 22？（假設這是一棵 5階B樹）

• 葉子節點被刪掉一個元素後，元素個數可能會低於最低限制（ ≥ ┌ m/2 ┐ − 1 ）
• 這種現象稱爲：下溢（underflow）

刪除 – 下溢的解決

下溢節點的元素數量必然等於 ┌ m/2 ┐ − 2

如果下溢節點臨近的兄弟節點，有至少 ┌ m/2 ┐ 個元素，可以向其借一個元素

• 將父節點的元素 b 插入到下溢節點的 0 位置（最小位置）
• 用兄弟節點的元素 a（最大的元素）替代父節點的元素 b
• 這種操作其實就是：旋轉
  

如果下溢節點臨近的兄弟節點，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 個元素

• 將父節點的元素 b 挪下來跟左右子節點進行合併
• 合併後的節點元素個數等於┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超過 m − 1
• 這個操作可能會導致父節點下溢，依然按照上述方法解決，下溢現象可能會一直往上傳播
  

刪除示例：

4階B樹

如果先學習 4 階 B 樹（2 - 3 - 4 樹），將能更好地學習理解紅黑樹：

4階B樹的性質：

• 所有節點能存儲的元素個數 x ：1 ≤ x ≤ 3
• 所有非葉子節點的子節點個數 y ：2 ≤ y ≤ 4

添加：從 1 添加到 22