1、定點數：
顧名思義定點數就是小數位固定不變的數叫做定點數，也就是小數點是定在某個位置不變的數。
2、定點數的分類：
（1）定點整數：定點整數的小數點後面沒有其他的數值,即小數點定在了數的最後面
定點整數又分爲以下兩類：
@@：無符號的定點整數：Unsigned fixed point integer，無符號定點整數沒有符號位，所以它的全部數位都用來表示數字，且它的小數點隱含在最低位後，在它的二進制形式中不存在小數點（數在計算機中都是以二進制的形式進行存儲的）。
對於某種數的表示方式，我們關心兩點：
1.表示範圍：這種方法表示數的大小（正負方向）,無符號定點整數範圍：0~2n-1
2.分辨率：精度,1（即最小非零正數）
二進制數：XnXn-1...X1X0表示無符號定點整數，則有n+1位正整數，它所代表的十進制數大小爲：
例如8位無符號二進制數的表示範圍爲：00000000-11111111：0-255
@@：帶符號定點整數
定義：帶符號定點整數是純整數，小數點在最低位之後，最高位爲符號位，它與無符號定點整數的區別就是它的 最高位只用來指示符號，不代表實際數值，並且它在計算機中以而二進制的補碼形式存儲。
XnXn-1...X1X0表示無符號定點整數(假設是原碼形式)，則有n+1位正整數，它所代表的十進制數大小爲：
最高位爲0代表正數，最高位爲1代表負數。
例如8位有符號二進制數的表示範圍爲：00000000-11111111：-128 到127
（2）有符號定點小數：
定點小數即純小數（但好多博客都說小數的位數和正數的位數可以事先約定，那這樣的話就不是純小數了，這一點還有疑惑），小數點的位置固定在最高有效數位之前、符號位之後，如圖1所示。定點小數的小數點位置是隱含約定的，小數點並不需要真正地佔據一個bit。
圖1 定點小數格式
當 Xs = 0 時，該小數爲正值，其原碼和補碼錶示的形式相同。
其中，
⑴ 絕對值最大的正小數爲：
其實際值等於（通過移項及合併同類項，可知該等式成立）：
⑵ 絕對值最小的正小數爲：
其實際值等於：
以8bit數爲例，最大正小數爲 0.111 1111 = 1 - 2⁻⁷；最小正小數爲 0.000 0001 = 2⁻⁷
當 Xs = 1 時，該小數爲負值，有原碼和補碼兩種表示形式（以下形式包含Xs位）。
⑴ 絕對值最大的負小數
① 原碼錶示
② 補碼錶示
⑵ 絕對值最小的負小數
① 原碼錶示
② 補碼錶示
可見，定點負小數的原碼錶示範圍爲: -(1 - 2⁻ⁿ) ~ -2⁻ⁿ；其補碼錶示範圍爲：-1 ~ -2⁻ⁿ。且n值越大，精度越高。
3.verilog中的定點小數
程序指定小數點的位置即爲定標，有兩種方法：Q表示方法和S表示方法。
(1) Q表示法：Qn表示低n位爲小數，其餘位爲符號位和整數位。
(2) S表示法：Sn中低（15-n）爲小數，其餘位符號位和整數位。
在使用XILINX VIVADO 中的IP核，都是以Q表示法表示。
定點小數的表示範圍：
其中N爲定點數的位數（排除符號位）,n爲定標的位數，其中n越大則數據越精確，但表示的範圍也會越小。
假設有一個16位的變量，設定小數佔8位，那麼它的精度爲8位，那麼它的精度是多少呢？ 其實就是1/2^8=0.00390625.
（0.5，0.25，0.125，0.0625，0.03125，0.015625，0.0078125，0.00390625）
例如：reg [15:0] a=16'b0111_1011_1111_0000 它表示的定點小數爲：31728/(2^8) = 123.9375也就是：
01111011.11110000的十進制數值
假設一個數2.3，它的二進制形式爲10.0100110........後面有無窮多位；但約定好小數的位數爲5位之後，則這個數就成爲了2.28125，小數的位數越多。精度越高，越接近其真值；
那麼我們假設x，x1，x2爲實際小數，y1，y2，y3爲定點小數，定位精度是n位，有如下關係
y1=y2+y3 <<=>>x1=x2+x3
y1=y2-y3 <<=>>x1=x2-x3
y1=y2/2^n*y3 <<=>>x1=x2*x3
y1=y2*2^n/y3 <<=>>x1=x2/x3
加減比較好理解，乘除爲什麼需要移位呢？以乘法爲例子
y1=x1*2^n
y2*y3=x2*x3*x^2n ==>>y1*2^n=y2*y3 證畢
4.浮點數
浮點數是一種 公式化 的表達方式，用來近似表示實數（浮點數也是實數），並且可以在表達範圍和表示精度之間進行權衡（因此被稱爲浮點數）。
浮點數通常被表示爲：
N=M×R^E
比如： 12.345=1.2345×10^1
其中，M(Mantissa)被稱爲浮點數的 尾數 ，R(Radix)被稱爲階碼的 基數 ，E(Exponent)被稱爲階的 階碼 。計算機中一般規定R爲2、8或16，是一個確定的常數，不需要在浮點數中明確表示出來。
因此，在已知標準下，要表示浮點數，
一是要給出尾數M的值，通常用定點小數形式表示（這裏表示：純小數），它決定了浮點數的表示精度，即可以給出的有效數字的位數。
二是要給出階碼，通常用定點整數形式表示，它指出的是小數點在數據中的位置，決定了浮點數的表示範圍。因此，在計算機中,浮點數通常被表示成如下格式:（假定爲32位浮點數，基爲2，其中最高位爲符號位）
32位浮點數：
64位浮點數：
浮點數的規格化表示
按照上面的指數表示方法，一個浮點數會有不同的表示：
0.3×10^0；0.03×10^1；0.003×10^2；0.0003×10^3；
爲了提高數據的表示精度同時保證數據表示的唯一性，需要對浮點數做規格化處理。
在計算機內，對非0值的浮點數，要求尾數的絕對值必須大於基數的倒數，即|M|≥1/R。
即要求尾數域的最高有效位應爲1,稱滿足這種表示要求的浮點數爲規格化表示：把不滿足這一表示要求的尾數，變成滿足這一要求的尾數的操作過程，叫作浮點數的規格化處理，通過尾數移位和修改階碼實現。
比如，二進制原碼的規格化數的表現形式：(0正1負)
正數 0.1xxxxxx
負數 1.1xxxxxx
爲了提高數據的表示精度，當尾數的值不爲0時，尾數域的最高有效位應爲1，這稱爲浮點數的規格化表示。否則以修改階碼同時左右移動小數點位置的辦法，使其變成規格化數的形式。
至此，我們引入IEEE754 標準，該標準約束了浮點數的大部分使用設置：(尾數用原碼；階碼用“移碼”；基爲2)
在IEEE754標準中，一個規格化的32位浮點數x的真值表示爲
x = （-1） ^s X（1.M）X 2^（E-127）
e = E - 127
其中尾數域所表示的值是1.M。由於規格化的浮點數的尾數域最左位（最高有效位）總是1，故這一位經常不予存儲，而認爲隱藏在小數點的左邊。於是用23位字段可以存儲24位有效數。(沒有理解爲啥這樣)
64位的浮點數中符號位1位，階碼域11位，尾數域52位，植樹偏移值是1023.因此規格化的64位浮點數x的真值爲
x = （-1）s X（1.M）X 2^（E-1023）
e = E - 1023
總結如下:
(1) 尾數用原碼,且隱藏尾數最高位。
原碼非0值浮點數的尾數數值最高位必定爲 1，因此可以忽略掉該位,這樣用同樣多的位數就能多存一位二進制數，有利於提高數據表示精度，稱這種處理方案使用了隱藏位技術。當然，在取回這樣的浮點數到運算器執行運算時，必須先恢復該隱藏位。
(2) 階碼使用“移碼”，基固定爲2
如下圖的32bit浮點數和64bit浮點數，從最高位依次是符號位、階碼和尾數
於是，
一個規格化的32位浮點數ｘ的真值爲：
x=(−1)^s×(1.M)×2E^−127
一個規格化的64位浮點數ｘ的真值爲：
x=(−1)^s×(1.M)×2E^−1023
下面舉一個32位單精度浮點數-3.75表示的例子幫助理解：
(1) 首先轉化爲2進製表示
−3.75=−(2+1+1/2+1/4)=−1.111×2^1
(2) 整理符號位並進行規格化表示
−1.111×2^1=(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1
(3) 進行階碼的移碼處理
(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1
=(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^(128−127)
於是，符號位S=1，尾數M爲1110 0000 0000 0000 0000 000
階碼E爲12810=1000 00002
,則最終的32位單精度浮點數爲
1 1110 0000 0000 0000 0000 000 1000 0000
例題
1. 問題： 若浮點數x的754標準存儲格式爲（41360000）16，求其浮點數的十進制數值。
解：將16進制數展開後，可得二進制數格式爲
指數e=階碼-127=10000010-01111111=00000011=（3）10
包括隱藏位1的尾數1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011
於是有
x=（-1）^S X 1.M X 2^e=+（1.011011） X 2^3 = +1011.011=（11.375）10
2. 問題： 將數（20.59375）10轉換成754標準的32位浮點數的二進制存儲格式。
解：首先分別將整數和小數部分轉換成二進制數：
20.59375 = 10100.10011
然後移動小數點，使其在第1、2位之間
10100.10011 = 1.010010011 X 2^4 e = 4
於是得到
S = 0， E = 4 + 127 = 131， M = 010010011
最後得到32位浮點數的二進制存儲格式爲
0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 = （41A4C000）16
浮點數表示範圍：
通過上面的規格化表示，我們可以很容易確定浮點數的表示範圍：
既然有表示範圍，那肯定也有不能表示的數值：
首先來說明溢出值，如下圖：
(1)無窮值：
如果指數E=11111111(2)=255(10)
且尾數M=0
，則根據符號位S分別表示+∞
和−∞
。因此，一個有效的32位浮點數其指數最大隻能爲254。
此外，無窮具有傳遞性，比如
(+∞) + (+7) = (+∞)
(+∞) × (−2) = (−∞)
(+∞) × 0 = NaN
(2)零值：
如果指數E=0
且尾數M=0
時，表示機器0.需要注意的是，這裏的0也是有符號的，在數值比較的時候 +0=−0
； 但在一些特殊操作下，二者並不顯相等，比如log(x), 1/+0≠1/−0。
此外，處於負下溢出和負上溢出之間的數值會被直接歸爲0。
(3)NAN：
如果E=0,且尾數M≠0，則表示這個值不是一個真正的值（Not A Number）。NAN又分成兩類：QNAN（Quiet NAN）和SNAN（Singaling NAN）。QNAN與SNAN的不同之處在於，QNAN的尾數部分最高位定義爲1，SNAN最高位定義爲0；QNAN一般表示未定義的算術運算結果，如0/0, ∞×0, sqrt(−1)；SNAN一般被用於標記未初始化的值，以此來捕獲異常。
浮點數的表示精度
一般提到浮點數的精度（有效位數）的時候，總是會出現 float的有效位爲6~7位, double的有效位爲15~16位 。
下面以float爲例，解釋一下有效位數是怎樣來的。
有效位數只和規格化浮點數的尾數部分有關，而尾數部分的位數是23位，因此我們首先列出下表
由上面的表格可以看出：
2^−23 和 2^−22 之間是存在間隔的，即0.0000001和0.0000002之間的小數我們是沒有辦法描述的，因此23位尾數最多隻能描述到小數點後第7位；此外，我們通過四捨五入可以很容易發現0.0000003=0.0000004=2^−23+2^−22
, 這表明第7位有效數字只是部分準確。而第6位及之前的都是可以準確描述的，因此我們說float的有
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