5.4打卡：剑指 offer两题：变态跳台阶/矩形覆盖

变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析

参考：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?answerType=1&f=discussion
dp 就是可以由什么状态推导出最后的状态，斐波那契数列是由前两种状态，而这里就是由前 n - 1 种状态推导出

这里用同一个套路来分析一下

• 若楼梯阶级 n = 3

  • 跳 3 步到 3：没有剩下步数没跳的，只有这样一种跳法
  • 跳 2 步到 3：剩下的是第一步没跳，起始跳到第一步只有一种
  • 跳 1 步到 3：剩下的是第二步没跳，起始跳到第二步有两种

  求得，n = 3 时，有 4 种跳法

• 若楼梯阶级 n = 4

  • 跳 4 步到 4：没有剩下步数没跳的，只有这样一种跳法
  • 跳 3 步到 4：剩下的是第一步没跳，起始跳到第一步只有一种
  • 跳 2 步到 4：剩下的是第二步没跳，起始跳到第二步只有两种
  • 跳 1 步到 4：剩下的是第三步没跳，起始跳到第三步有四种

  求得，n = 4 时，有 8 种跳法

• 若楼梯阶级 n = n

  • 跳 x 步到 n 有几种的和，跟前 n - 1 种状态有关

易知 f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(1)，f(n-1)=f(n-2)+……f(1)，两式相减得f(n)=2f(n-1)

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        return pow(2, number - 1);//2^(number-1)
    }
};

矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？比如n=3时，2*3的矩形块有3种覆盖方法

思路：
对于很多递归问题，我们都可以通过归纳总结来找出他们的规律：
当n=1时，way=1(横或竖)
当n=2时，way=2(全横或全竖)
当n=3时，way=3(全竖&横横竖&竖横横)
当n=4时，way=5(全竖&全横&竖横横竖&竖竖横横&横横竖竖)
当n=5时，way=8(全竖&竖横横竖竖&竖横横横横&竖竖横横竖&竖竖竖横横&横横竖竖竖&横横横横竖&横横竖横横)
.......
n=(n-1)+(n-2);
于是问题有转换成了之前的斐波那契数列问题了，依旧时同样的方法求解：

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if(number <= 2) return number;
        int one = 1, two = 2, sum = 0;
        for (int i = 3; i <= number; i++) {
            sum = one + two;
            one = two;
            two = sum;
        }
        return sum;
    }
};