助你穩過高校離散結構 --（系列一）

0x01.說明

• 離散數學其實是計算機領域一門比較重要的學科，對某些算法，底層原理的研究起到了非常重要的作用。
• 離散結構是邏輯學，集合論（包括函數），數論基礎，算法設計，組合分析，離散概率，關係理論，圖論與樹，抽象代數（包括代數系統，羣、環、域等），布爾代數，計算模型（語言與自動機）等彙集起來的一門綜合學科。
• 如果以後的你想要深究其中某個領域，它一定是必不可少的工具，如果不去探討這些，其實也可以稍作了解，重要的是，現在高校的計算機專業中，大都會有這門課程，所以，還是好好學一學吧。
• 本文對高校中需要的離散結構知識做一些總結，也許，對期末正複習的你有幫助哦！

0x02.邏輯與證明

1.命題：

• 一個命題就是一個陳述句，陳述的事情需要能夠判別真假。

  • 注意1：要麼真，要麼假，不能又真又假。

  • 注意2：陳述句，能判斷真假，缺一不可。

  • 注意3：悖論不是命題。

  • 注意4：在判斷命題真假時，需要明確其所在的場景（表述的上下文）。

    • 例如：x+2=3不是命題，但如果進行賦值x=1，就是命題了。

• 命題的真假叫做命題的真值。

  • 真值可以表示爲：【True，False】 或 【0，1】
  • 真值表：枚舉複合命題中，所有命題變量的所有真值情況 。（如否定命題的真值表）
    

• 原子命題：其真假獨立於其它命題的最小命題。

  • 原子命題是數理邏輯的基本單位。

  • 原子命題的符號化表示：

    • 一般使用小寫字母，如p，q，r，s表示命題變量。

2.邏輯運算符：

• 用於組合命題的符號，表示原子命題之間的邏輯關係，也叫邏輯聯接詞。

• 基本邏輯運算符：

  • 否定（非）：
    

  • 合取（且）：【同爲真時且爲真】
    

  • 析取（或）：【同爲假時或爲假】
    

  • 異或：【當且僅當一個爲真時異或爲真】
    

• 複合命題：已有命題用邏輯運算符組合成的新命題。

  • 永真式：重言式。
  • 矛盾式：永假式。
  • 可能式：有真有假。（可滿足性）

3.條件語句–蘊涵：p→q 【p真q假才爲假，否則則爲真】

• p：表示假設、前項、前提。

• q：表示結論、推論。

• 語義化：【如果 p，則 q】，【p 推出q】，【p 僅當q】，【只有 q，纔有p】，【q 當 p】。

• 蘊含的逆：
  

• 蘊含的反：
  

• 蘊含的逆否：
  

4.雙條件語句–雙蘊涵：

• p、q之間互爲充要條件。

5.邏輯運算符的優先級：

6.系統規範

• 每條規範說明，就是一個命題。

• 規範集合是一致的。

  • 全部規範都能夠得到滿足。
  • 全部對應命題真值都爲真。

• 判斷系統是否規範的核心：【存在一組命題的賦值，使得全部命題都爲真】

7.邏輯等價：

• 證明命題等價的方法：真值表、恆等式變換

  • 真值表：畫出兩個命題的真值表，如果對應真值情況完全相同，則等價。
  • 恆等式變換：通過已知的恆等式變換，最終由一個命題變換成了另一個命題。

• 重要邏輯等價式：

  • 恆等率：
    

  • 支配率：
    

  • 冪等率：
    

  • 雙重否定率：
    

  • 否定率：
    

  • 交換律：
    

  • 結合律：
    

  • 德.摩根律:
    

  • 分配率：
    

• 與蘊含有關的等價：

• 雙蘊含有關等價式：
  
• 利用恆等式證明邏輯等價的核心思路：【努力讓左邊變得向右邊（或者右邊像左邊），差什麼，用什麼公式去構造】

8.謂詞

• 含變量的陳述句不能直接表示成命題，當我們把這個命題看成一個函數時，通過變量賦值，含變量的陳述句就能直接表示成命題。這個函數稱爲命題函數。

  • 注意1：命題函數不是命題！
  • 注意2：變量賦值後，就是命題。

• 謂詞：在命題函數中，表明變量具有的性質。

• 定義域（論域）+ 取值範圍+ 命題函數= 命題

• 例如：命題函數P(x): x＞3 不是命題，P(4)、P(2) 是命題。

9.量詞

• 論域：變量的取值範圍，全總論域= { 萬事萬物}。
• 排中律：對任何事物在一定條件的判斷都必須有明確的“是”或“非”，不存在中間狀態。【不能證明是假就是真】
• 量詞後面有條件就是約束論域的量詞。
• 量詞的優先級:
  
• 含量詞的邏輯等價式：

• 量化命題的否定：
  

• 量詞的順序：

  • 相同類型量詞嵌套時，順序不重要，順序的交換，不會影響命題的含義。
  • 不同類型量詞交叉嵌套，順序很重要。順序不同，命題的含義不同。

• 否定嵌套量詞：從外向內連續應用否定，直到所有的量詞前沒有否定。

10.證明與推理

• 證明：建立數學命題真實性的有效論證。

• 論證：一個命題序列。

• 論證是有效的：若所有前提爲真，則結論必真。

• 證明方法：

  • 直接證明法：p→q

    • ① 假定p 爲真
      ② 結合已知成果(定義+公理+定理)＋推理規則
      ③ 推出q 爲真

  • 間接證明：p→q ≡ ¬q→¬p

    • 假定 ¬q 爲真，推出¬p。

  • 歸謬法(反證法)

    • 要求證明p 爲真，假設 ¬p 爲真，在上述假設下，若能推導出矛盾式，則p爲真。

  • 空證明：前提爲假，蘊涵式自動爲真。

  • 平凡證明：結論已爲真，蘊涵式自動爲真→無需前提爲真

  • 分情形證明法：每個子前提與結論構成一種情形。

  • 窮舉證明：枚舉所有可能情況。

  • 唯一性證明：存在性＋唯一性。

0x03.集合

1.集合的表示方法

• 列舉法：直接枚舉所有(或部分)的元素。
  

• 構造法：用謂詞描述所有元素的性質。

• 文氏圖。

2.集合與元素

• 集合與元素的關係：成員關係。
  

• 元素的性質：確定性、無序性、相異性、嵌套性。

3.集合與集合的關係

• 相等：

• 包含：
  

• 真包含：
  

• 空集：不含有任何元素得到集合

  • 注意1：空集是任何集合的子集
  • 注意2：空集是唯一的

4.基數和冪集

• 基數是集合 S 的元素個數，記爲|S|

• 冪集：
  

  • 舉例：
    

• 如果 |S|=n，則 |P(S)|=2^n

• 全集 U：所有元素組成的集合。

5.笛卡爾積

- 例如：

• 笛卡爾積不滿足交換律。

6.集合間的運算

並：

交：

差：

對稱差：

補：

• 運算優先級：
  

7.集合恆等式

• 證明集合恆等式的方法：

  • 方法一：集合相等定義法【在集合A中任取元素x，通過推理和變換，證明x屬於B】
  • 方法二：集合構造定義法【將集合A表式成構造式，通過變換，表示成集合B的構造式】
  • 方法三：成員表法【列舉兩個集合的成員表，完全一致則相等】
  • 方法四：集合恆等式變換法【通過集合恆等式的變換證明兩個集合相等】

0x04.函數

1.相關定義

2.重要概念

• 單射（一對一）：對於指定的y，只存在唯一的一個x相對應。
  -滿射（映上）：對於每一個y，都存在x與之對應。
  
• 雙射：當函數f既是單射又是雙射，就稱f是雙射。

3.反函數

4.函數組合

未完待續…