助你稳过高校离散结构 --（系列一）

0x01.说明

• 离散数学其实是计算机领域一门比较重要的学科，对某些算法，底层原理的研究起到了非常重要的作用。
• 离散结构是逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
• 如果以后的你想要深究其中某个领域，它一定是必不可少的工具，如果不去探讨这些，其实也可以稍作了解，重要的是，现在高校的计算机专业中，大都会有这门课程，所以，还是好好学一学吧。
• 本文对高校中需要的离散结构知识做一些总结，也许，对期末正复习的你有帮助哦！

0x02.逻辑与证明

1.命题：

• 一个命题就是一个陈述句，陈述的事情需要能够判别真假。

  • 注意1：要么真，要么假，不能又真又假。

  • 注意2：陈述句，能判断真假，缺一不可。

  • 注意3：悖论不是命题。

  • 注意4：在判断命题真假时，需要明确其所在的场景（表述的上下文）。

    • 例如：x+2=3不是命题，但如果进行赋值x=1，就是命题了。

• 命题的真假叫做命题的真值。

  • 真值可以表示为：【True，False】 或 【0，1】
  • 真值表：枚举复合命题中，所有命题变量的所有真值情况 。（如否定命题的真值表）
    

• 原子命题：其真假独立于其它命题的最小命题。

  • 原子命题是数理逻辑的基本单位。

  • 原子命题的符号化表示：

    • 一般使用小写字母，如p，q，r，s表示命题变量。

2.逻辑运算符：

• 用于组合命题的符号，表示原子命题之间的逻辑关系，也叫逻辑联接词。

• 基本逻辑运算符：

  • 否定（非）：
    

  • 合取（且）：【同为真时且为真】
    

  • 析取（或）：【同为假时或为假】
    

  • 异或：【当且仅当一个为真时异或为真】
    

• 复合命题：已有命题用逻辑运算符组合成的新命题。

  • 永真式：重言式。
  • 矛盾式：永假式。
  • 可能式：有真有假。（可满足性）

3.条件语句–蕴涵：p→q 【p真q假才为假，否则则为真】

• p：表示假设、前项、前提。

• q：表示结论、推论。

• 语义化：【如果 p，则 q】，【p 推出q】，【p 仅当q】，【只有 q，才有p】，【q 当 p】。

• 蕴含的逆：
  

• 蕴含的反：
  

• 蕴含的逆否：
  

4.双条件语句–双蕴涵：

• p、q之间互为充要条件。

5.逻辑运算符的优先级：

6.系统规范

• 每条规范说明，就是一个命题。

• 规范集合是一致的。

  • 全部规范都能够得到满足。
  • 全部对应命题真值都为真。

• 判断系统是否规范的核心：【存在一组命题的赋值，使得全部命题都为真】

7.逻辑等价：

• 证明命题等价的方法：真值表、恒等式变换

  • 真值表：画出两个命题的真值表，如果对应真值情况完全相同，则等价。
  • 恒等式变换：通过已知的恒等式变换，最终由一个命题变换成了另一个命题。

• 重要逻辑等价式：

  • 恒等率：
    

  • 支配率：
    

  • 幂等率：
    

  • 双重否定率：
    

  • 否定率：
    

  • 交换律：
    

  • 结合律：
    

  • 德.摩根律:
    

  • 分配率：
    

• 与蕴含有关的等价：

• 双蕴含有关等价式：
  
• 利用恒等式证明逻辑等价的核心思路：【努力让左边变得向右边（或者右边像左边），差什么，用什么公式去构造】

8.谓词

• 含变量的陈述句不能直接表示成命题，当我们把这个命题看成一个函数时，通过变量赋值，含变量的陈述句就能直接表示成命题。这个函数称为命题函数。

  • 注意1：命题函数不是命题！
  • 注意2：变量赋值后，就是命题。

• 谓词：在命题函数中，表明变量具有的性质。

• 定义域（论域）+ 取值范围+ 命题函数= 命题

• 例如：命题函数P(x): x＞3 不是命题，P(4)、P(2) 是命题。

9.量词

• 论域：变量的取值范围，全总论域= { 万事万物}。
• 排中律：对任何事物在一定条件的判断都必须有明确的“是”或“非”，不存在中间状态。【不能证明是假就是真】
• 量词后面有条件就是约束论域的量词。
• 量词的优先级:
  
• 含量词的逻辑等价式：

• 量化命题的否定：
  

• 量词的顺序：

  • 相同类型量词嵌套时，顺序不重要，顺序的交换，不会影响命题的含义。
  • 不同类型量词交叉嵌套，顺序很重要。顺序不同，命题的含义不同。

• 否定嵌套量词：从外向内连续应用否定，直到所有的量词前没有否定。

10.证明与推理

• 证明：建立数学命题真实性的有效论证。

• 论证：一个命题序列。

• 论证是有效的：若所有前提为真，则结论必真。

• 证明方法：

  • 直接证明法：p→q

    • ① 假定p 为真
      ② 结合已知成果(定义+公理+定理)＋推理规则
      ③ 推出q 为真

  • 间接证明：p→q ≡ ¬q→¬p

    • 假定 ¬q 为真，推出¬p。

  • 归谬法(反证法)

    • 要求证明p 为真，假设 ¬p 为真，在上述假设下，若能推导出矛盾式，则p为真。

  • 空证明：前提为假，蕴涵式自动为真。

  • 平凡证明：结论已为真，蕴涵式自动为真→无需前提为真

  • 分情形证明法：每个子前提与结论构成一种情形。

  • 穷举证明：枚举所有可能情况。

  • 唯一性证明：存在性＋唯一性。

0x03.集合

1.集合的表示方法

• 列举法：直接枚举所有(或部分)的元素。
  

• 构造法：用谓词描述所有元素的性质。

• 文氏图。

2.集合与元素

• 集合与元素的关系：成员关系。
  

• 元素的性质：确定性、无序性、相异性、嵌套性。

3.集合与集合的关系

• 相等：

• 包含：
  

• 真包含：
  

• 空集：不含有任何元素得到集合

  • 注意1：空集是任何集合的子集
  • 注意2：空集是唯一的

4.基数和幂集

• 基数是集合 S 的元素个数，记为|S|

• 幂集：
  

  • 举例：
    

• 如果 |S|=n，则 |P(S)|=2^n

• 全集 U：所有元素组成的集合。

5.笛卡尔积

- 例如：

• 笛卡尔积不满足交换律。

6.集合间的运算

并：

交：

差：

对称差：

补：

• 运算优先级：
  

7.集合恒等式

• 证明集合恒等式的方法：

  • 方法一：集合相等定义法【在集合A中任取元素x，通过推理和变换，证明x属于B】
  • 方法二：集合构造定义法【将集合A表式成构造式，通过变换，表示成集合B的构造式】
  • 方法三：成员表法【列举两个集合的成员表，完全一致则相等】
  • 方法四：集合恒等式变换法【通过集合恒等式的变换证明两个集合相等】

0x04.函数

1.相关定义

2.重要概念

• 单射（一对一）：对于指定的y，只存在唯一的一个x相对应。
  -满射（映上）：对于每一个y，都存在x与之对应。
  
• 双射：当函数f既是单射又是双射，就称f是双射。

3.反函数

4.函数组合

未完待续…