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問題一：
一隻青蛙一次可以跳上一級臺階，也可以跳上二級臺階，求該青蛙跳上一個n級的臺階總共需要多少種跳法。
我們來分析一下：
當n等於1的時候，只需要跳一次即可，只有一種跳法，記f(1)=1
當n等於2的時候，可以先跳一級再跳一級，或者直接跳二級，共有2種跳法，記f(2)=2
當n等於3的時候，他可以從一級臺階上跳兩步上來，也可以從二級臺階上跳一步上來，所以總共有f(3)=f(2)+f(1)；
同理當等於n的時候，總共有f(n)=f(n-1)+f(n-2)(這裏n>2)種跳法。
所以大家一看就知道這就是個斐波那契數列，只不過有一點不同的是斐波那契數列一般是以1,1,2,3,5,8,13……開始的，而我們這是以1,2,3,5,8,13……開始的，少了最前面的一個1。最代碼很簡單
1 public static int f(int n) {
2 if (n < 3)
3 return n;
4 return f(n - 1) + f(n - 2);
5 }
我們以計算f(6)爲例畫個圖看一下計算的過程
我們看到遞歸會重複計算已經計算過的值，效率明顯不是很高，我們還可以把計算過的值儲存起來，防止重複計算，我們來看下代碼
1 private static int f2(int n, HashMap<Integer, Integer> map) {
2 if (n < 3) return n;
3 if (map.containsKey(n))
4 return map.get(n);
5 int first = f2(n - 1, map);
6 int second = f2(n - 2, map);
7 int sum = first + second;
8 map.put(n, sum);
9 return sum;
10 }
我們還可以把遞歸改爲非遞歸的形式，看下代碼
1 private static int f3(int n) {
2 if (n < 3)
3 return n;
4 int first = 1, second = 2, sum = 0;
5 while (n-- > 2) {
6 sum = first + second;
7 first = second;
8 second = sum;
9 }
10 return sum;
11 }
上面3種方式都可以實現青蛙跳臺階問題，那麼哪種效率更高呢，我們來找個比較大的數據測試一下
1 public static void main(String[] args) {
2 int step = 45;
3 long time = System.nanoTime();
4 System.out.println(f(step));
5 System.out.println("代碼優化前時間：" + (System.nanoTime() - time));
6 time = System.nanoTime();
7 System.out.println(f2(step, new HashMap<Integer, Integer>()));
8 System.out.println("代碼優化後時間：" + (System.nanoTime() - time));
9 time = System.nanoTime();
10 System.out.println(f3(step));
11 System.out.println("代碼非遞歸時間：" + (System.nanoTime() - time));
12 }
來看一下運行的時間
1 1836311903
2 代碼優化前時間：2221741900
3 1836311903
4 代碼優化後時間：108000
5 1836311903
6 代碼非遞歸時間：17600
我們看到遞歸優化之前運行時間是非常長的，優化之後時間大幅下降，但對於非遞歸來說又稍遜色了一些。
問題二：
一隻青蛙一次可以跳上一級臺階，也可以跳上二級臺階……，也可以跳n級，求該青蛙跳上一個n級的臺階總共需要多少種跳法。
我們來分析一下
一隻青蛙要想跳到n級臺階，可以從一級，二級……，也就是說可以從任何一級跳到n級，
所以遞推公式我們很容易就能想到
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+f(0)；最後這個f(0)是可以去掉的，因爲0級就相當於沒跳，所以f(0)=0;
然後我們把f(0)去掉在轉換一下：
f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+……+f(2)+f(1)；
所以f(n)=f(n-1)+f(n-1)=2*f(n-1)；他是一個等比數列，且f(1)=1;
我們我們可以得出f(n)=2^(n-1)；代碼如下
1 private static int f4(int n) {
2 if (n == 1)
3 return 1;
4 return f4(n - 1) * 2;
5 }
或者還可以改爲非遞歸的
1 private static int f5(int n) {
2 if (n == 1)
3 return 1;
4 return 1 << (n - 1);
5 }
問題三：
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上m級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法
這道題我們要分開討論：
1，如果n<=m；因爲只能往上跳不能往下跳，所以大於n的都不可以跳，如果跳了就直接超過了，只能跳小於等於n的數字，那麼這個問題就直接退到問題2了。
2，如果n>m；我們要想跳到n級臺階，我們可以從n-1級跳一步上來，或者從n-2級跳兩步上來……，或者從n-m級跳m步上來，所以我們可以找出遞歸公式
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-m)；
進一步可以推出：
f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-m) + f(n-m-1)；
化簡結果爲：
f(n) = 2f(n-1) - f(n-m-1)；(n>m)
所以代碼我們要分爲兩部分，一部分是n>m，另一部分是n<=m，我們來看下代碼
1 public static int f6(int n, int m) {
2 if (n <= 1)
3 return 1;
4 //總檯階大於跳的最高級臺階
5 if (n > m)
6 return 2 * f6(n - 1, m) - f6(n - 1 - m, m);
7 //回退到上面的問題二了
8 return 2 * f6(n - 1, n);
9 }
斐波那契數列又稱黃金分割數列，他有很多的特性，比如兔子的繁殖，他的通項公式如下
