算法-運行時間中的對數-三個例子

對數最常出現的規律可概括爲下列一般法則：

如果一個算法用常熟時間（O（1））將問題的大小削減爲其一部分（通常是1/2），那麼該算法就是O（logN）。另一方面，如果使用常數時間只是把問題減少一個常數的數量（如將問題減少1），那麼這種算法就是O（N）的。

 

例1：折半查找（二分法）

 條件：  給定一個整數X和整數A0，A1，...，A(N-1)，後者已經預先排序並在內存中，求下標i使得Ai=X，如果X不在數據中，則返回i=-1。

 思路：驗證X是否是居中的元素。如果是，則答案就找到了。如果X小於居中元素，那麼我們可以應用同樣的策略於居中元素左邊已排列的子序列；同理，如果X大於居中元素，那麼我們檢查數據的右半部分。

public static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> int binarySearch(AnyType a[],AnyType x){
    int low=0,high=a.length-1;
    while(low<=high){
        int mid=(low+high)/2;
        if(a[mid].compareTo(x)<0)
            low=mid+1;
        else if(a[mid].compareTo(x)>0)
            high=mid-1;
        else
            return mid;//found
    }
    return NOT_FOUND;//NOT_FOUND is defined as -1
}

例2：歐幾里得算法-計算最大公因數

兩個整數的最大公因數（gcd）是同事整除兩者的最大整數思路：假設M>=N(否則交換)，算法連續計算餘數爲0爲止，最後的非零餘數就是最大公因數。（兩個數的餘數肯定比兩個數的較小那個還要小，所以每次求餘至少縮減一半。）

public static long gcd( long m,long n){
    while(n!=0){
        long rem = m % n;
        m = n;
        n = rem;
    }
    return m;
}

例三：冪運算

計算X^N（N-1次X自乘）

思路：N<=1是這種遞歸的基準情形。否則，若N是偶數，我們有X^N=X^(N/2) * X^(N/2)，如果是偶數，我們有X^N=X^((N-1)/2) * X^((N-1)/2) * X。

例如，爲了計算X^62,算法將如下運行，他只用到9次乘法。

X^3=(X^2)*X,

X^7=(X^3)^2 * X,

X^15=(X^7)^2 * X,

X^31=(X^15)^2 * X,

X^62=(X^31)^2 

public static long pow( long x ,int n){
    if(n==0) return 1;
    if(n==1) return x;
    if(isEven(n)) return pow(x*x,n/2);//偶數
    else return pow(x*x,n/2)*x;
    
}