Week12-選做題2（狀壓DP）

問題描述

馬上假期就要結束了，zjm還有 n 個作業，完成某個作業需要一定的時間，而且每個作業有一個截止時間，若超過截止時間，一天就要扣一分。
zjm想知道如何安排做作業，使得扣的分數最少。
Tips: 如果開始做某個作業，就必須把這個作業做完了，才能做下一個作業。

Input

有多組測試數據。第一行一個整數表示測試數據的組數
第一行一個整數 n(1<=n<=15)
接下來n行，每行一個字符串(長度不超過100) S 表示任務的名稱和兩個整數 D 和 C，分別表示任務的截止時間和完成任務需要的天數。
這 n 個任務是按照字符串的字典序從小到大給出。

Output

每組測試數據，輸出最少扣的分數，並輸出完成作業的方案，如果有多個方案，輸出字典序最小的一個。

Sample input

2
3
Computer 3 3
English 20 1
Math 3 2
3
Computer 3 3
English 6 3
Math 6 3

Sample output

2
Computer
Math
English
3
Computer
English
Math

Hint

在第二個樣例中，按照 Computer->English->Math 和 Computer->Math->English 的順序完成作業，所扣的分數都是 3，由於 English 的字典序比 Math 小，故輸出前一種方案。

解題思路

看到數據範圍，這個題可以使用狀壓DP來解決。

舉個例子。有五個格子_ _ _ _ _。上面可以放棋子或者不放。
我們將放棋子的格子標註爲1，不放棋子的格子標註爲0。
那麼，我們就可以用一個二進制數來表達出人任何一個的完整狀態而不是片面的，這就是狀壓dp。（其實就是一種暴力枚舉每種方式的辦法）

由於需要用到的空間是指數級別的，所以只有我們碰到這樣小的數據範圍，才能用狀壓DP。

對於這個題，枚舉到狀態S，如果$S=1011_2$，那麼就代表完成了作業1，2，4。用dp[s]表示狀態s的耗時情況。

我們枚舉當前狀態下，每個完成的作業，使得這個作業是最後完成的，然後比較計算時間，所以狀態轉移方程是：

dp[s]=dp[s-(1<<(x-1))]+max(cal_sum(s-(1<<(x-1)))+a[x].c-a[x].d,0);

表示當前狀態下，如果第x個作業是最後完成的，那麼耗時就是其他作業的耗時加上這個作業的耗時。dp[s-(1<<(x-1))]表示當前狀態S去掉這個作業，其他作業的耗時。

這個題還要求在有多種情況的情況下，字典序輸出結果。

對於字典序從小到大輸出，我們可以在開始用字典序從大到小排序。

然後，記錄每個狀態下，最後完成的一個作業爲pre[s]。遞歸回溯輸出結果即可，對於相同次序的，由於字典序從大到小排序了，所以回溯輸出的時候是從小到大的。

完整代碼

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma G++ optimize(2)
//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=50000;
struct node{
    string name;
    int d,c;
};
node a[16];
int t,n,dp[maxn],pre[maxn];
int getint(){
    int x=0,s=1; char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9'){ ch=getchar(); if(ch=='-') s=-1;}
    while(ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*s;
}
int cal_sum(int _s){
    int temp=0;
    for (int i=1; i<=n; i++){
        if(_s&(1<<(i-1))) temp+=a[i].c;
    }
    return temp;
}
bool comp(const node &_a,const node &_b){
    return _a.name>_b.name;
}
void find_path(int _s){
    if(_s==0) return;

    find_path(_s-(1<<(pre[_s]-1)));

    cout<<a[pre[_s]].name<<endl;
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(0);
    cin>>t;
    while(t--){
        memset(dp,0x3f3f3f,sizeof(dp)); dp[0]=0;
        cin>>n;
        for (int i=1; i<=n; i++)
            cin>>a[i].name>>a[i].d>>a[i].c;
        sort(a+1,a+1+n,comp);
        //dp[s]表示s狀態下，扣的最少分數
        for (int s=1; s<=(1<<n)-1; s++){//枚舉所有的狀態
            for (int x=1; x<=n; x++){//枚舉每個最後做的作業
                if(s&(1<<(x-1))){//當前狀態做過這個作業
                    int temp=dp[s-(1<<(x-1))]+max(cal_sum(s-(1<<(x-1)))+a[x].c-a[x].d,0);
                    if(temp<dp[s]){//在當前狀態s下，以x爲結尾更好
                        pre[s]=x;//當前狀態下，最後完成的作業是x
                        dp[s]=temp;
                    }
                }
            }
        }
        cout<<dp[(1<<n)-1]<<endl;
        find_path((1<<n)-1);
    }
    return 0;
}