Pow(x,n)---快速冪算法

題目

實現 pow(x, n) ，即計算 x 的 n 次冪函數。
示例：

輸入: 2.00000, 10
輸出: 1024.00000

輸入: 2.10000, 3
輸出: 9.26100

輸入: 2.00000, -2
輸出: 0.25000
解釋: 2^-2 = 1/2² = 1/4 = 0.25

說明：

• -100.0 < x < 100.0
• n 是 32 位有符號整數，其數值範圍是 [−2³¹, 2³¹ − 1] 。

解決方案

分別是遞歸和迭代兩個版本，當指數 n 爲負數時，我們可以計算 x^-n再取倒數得到結果，因此我們只需要考慮 n 爲自然數的情況。

思考過程（個人的錯誤解法，可略過）
考慮到計算n次冪，就想到用循環來解決，xⁿ看作是y*x的n-1次循環（y₀=x）。n小於0的情況下取n的絕對值，計算出循環後的值後用1除該值，即取倒數；n大於0時，若n爲1則計算結果爲x本身，其他情況則循環n-1次乘x；n等於0時，計算結果爲1 。

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        double y=x;
        if(n<0){
            for(n=-n;n-1>0;n--){
                y=y*x;
            }
            y=1/y;
        }
        else if(n==0){
            y=1;
        }
        else if(n==1){
            y=x;
        }
        else{
            for(;n-1>0;n--){
                y=y*x;
            }
        }
        return y;
    }
};

錯誤原因：暴力計算，效率太低導致程序超時。

方法一：快速冪+遞歸
「快速冪算法」的本質是分治算法。舉個例子，如果我們要計算 x⁶⁴
，我們可以按照：

x→x²→x⁴→x⁸→x¹⁶→x³²→x⁶⁴

的順序，從 x 開始，每次直接把上一次的結果進行平方，計算 6 次就可以得到 x⁶⁴的值，而不需要對 x 乘 63 次 x。

這是2的整數次冪，如果n是奇數或者不是2的整數次冪該怎麼辦呢？
比如 x⁷⁷ ，可以按照：

x→x²→x⁴→x⁹→x¹⁹→x³⁸→x⁷⁷

從x⁴後就進行的是平方後乘 x，其中19到38是平方，直接從左到右進行推導看上去很困難，因爲在每一步中，我們不知道在將上一次的結果平方之後，還需不需要額外乘 x。但如果我們從右往左看，分治的思想就十分明顯了：

• 要計算 xⁿ，先算 y = x^n/2，根據遞歸結果，n爲偶數時，xⁿ = y²；n爲奇數時，n/2向下取整，xⁿ = y²*x 。
• 以0爲邊界，n爲0時，任意數的0次方均爲1.

由於每次遞歸都會使得指數減少一半，因此遞歸的層數爲 O(log n)，算法可以在很快的時間內得到結果。

class Solution {
public:
    double quick(double x,long long n){
        double y;
        if(n==0){
            return 1.0;
        }
        y=quick(x,n/2);
        return n%2==0 ? y*y : y*y*x;
     }
    double myPow(double x, int n) {
        long long N = n;
        return n>=0 ? quick(x,N) : 1.0/quick(x,-N);
    }
};

方法二 快速冪+迭代
由於遞歸需要使用額外的棧空間，我們試着將遞歸轉寫爲迭代。在方法一中，我們也提到過，從左到右進行推導是不容易的，因爲我們不知道是否需要額外乘 xx。但我們不妨找一找規律，看看哪些地方額外乘了 xx，並且它們對答案產生了什麼影響。

還是以x⁷⁷爲例：

x→x²→x⁴→+x⁹→+x¹⁹→x³⁸→+x⁷⁷

並且把需要額外乘 xx 的步驟打上了 + 標記。可以發現：

• x³⁸→+x⁷⁷中額外乘的x在x⁷⁷中貢獻了x
• x⁹→+x¹⁹中額外乘的x在x之後平方了2次，在x⁷⁷中貢獻了x的2²次方，即x⁴。
• x⁴→+x⁹中額外乘的x在之後平方了3次，在x⁷⁷中貢獻了x的2³次方，即x⁸。
• 最初的x在之後平方了6次，因此在x⁷⁷中貢獻了x的2⁶次方，即x⁶⁴。

把這些貢獻相乘就得到了x⁷⁷，而這些貢獻的指數部分又是什麼呢？它們都是 2 的冪次，這是因爲每個額外乘的 x 在之後都會被平方若干次。而這些指數 1，4，8 和 64，恰好就對應了 77 的二進制表示 (1001101)₂中的每個 1！

因此我們藉助整數的二進制拆分，就可以得到迭代計算的方法，下面的代碼給出了詳細的註釋。

class Solution {
public:
    double quickMul(double x, long long N) {
        double ans = 1.0;
        // 貢獻的初始值爲 x
        double x_contribute = x;
        // 在對 N 進行二進制拆分的同時計算答案
        while (N > 0) {
            if (N % 2 == 1) {
                // 如果 N 二進制表示的最低位爲 1，那麼需要計入貢獻
                ans *= x_contribute;
            }
            // 將貢獻不斷地平方
            x_contribute *= x_contribute;
            // 捨棄 N 二進制表示的最低位，這樣我們每次只要判斷最低位即可
            N /= 2;
        }
        return ans;
    }

    double myPow(double x, int n) {
        long long N = n;
        return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N);
    }
};

參考文章
作者：LeetCode-Solution
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/powx-n/solution/powx-n-by-leetcode-solution/
來源：力扣（LeetCode）