51Nod 2656 阿克曼函數 找規律

1. 題目描述

1.1. Limit

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1.2. Problem Description

阿克曼（Arkmann）函數 $A(m, n)$ 中，m與n的定義域是非負整數且本題中 $m \le 3$，$n\le 16$。

函數的定義爲：

$akm(m, n) = {\left\{ \begin{aligned} n+1 & , (m = 0)& \\ akm(m - 1, 1) & , (m > 0, n = 0)& \\ akm(m - 1, akm(m, n - 1)) & , (m > 0, n > 0)& \\ \end{aligned}\right. }$

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1.3. Input

兩個整數 $m$ $n$

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1.4. Output

一個整數，$akm(m,n)$的結果

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1.5. Sample Input

1 1

1.6. Sample Output

3

1.7. Source

51Nod 2656 阿克曼函數

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2. 解讀

如果直接使用 $akm(m,n)$ 進行計算，最後一個點會超時。這時考慮到題目所給的數據範圍 $0 \le m \le 3$，$0 \le n\le 16$ 比較小，帶入一些數字嘗試找出 $akm(m,n)$ 的規律。

$m$	$n$	$akm(m,n)$	$m$	$n$	$akm(m,n)$
1	1	3	2	1	5
1	2	4	2	2	7
1	3	5	2	3	9
1	$n$	$n+2$	2	$n$	$2n+3$

$m$	$n$	$akm(m,n)$
3	1	13
3	2	29
3	3	61
3	4	125
3	n	$2^{n+3} - 3$

再將找出的規律寫成一個函數進行計算即可。

3. 代碼

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <string.h>
using namespace std;

int akm(int m, int n)
{
    if (m == 0) {
        return n + 1;
    } else if (m > 0 && n == 0) {
        return akm(m - 1, 1);
    } else if (m > 0 && n > 0) {
        return akm(m - 1, akm(m, n - 1));
    } else {
        return 0;
    }
}


long long calculate(int m, int n)
{
    if (m == 0) {
        return n + 1;
    } else if (m == 1) {
        return n + 2;
    } else if (m == 2) {
        return 2 * n + 3;
    } else if (m == 3) {
        return pow(2, n + 3) - 3;
    } else {
        return 0;
    }
}

int main()
{
    // test case
    int m, n;
    scanf("%d %d", &m, &n);
    // 計算
    printf("%lld", calculate(m, n));
}

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