51Nod 2653 區間xor 連續數字異或和

1. 題目描述

1.1. Limit

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1.2. Problem Description

給出區間$(a,b)$，$b \ge a$，求 $a\ xor\ (a + 1)\ xor\ (a + 2)\ \dots \ xor \ b$ 。

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1.3. Input

輸入2個數：$a$ $b$，中間用空格分隔$(1 \le a \le b \le 10^9)$

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1.4. Output

輸出一個答案

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1.5. Sample Input

3 8

1.6. Sample Output

11

1.7. Source

51Nod 2653 區間xor

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2. 解讀

計算區間$[1,b]$的區間異或，即求 $1\ xor\ 2\ xor\ 3\ \dots \ xor \ b$ 有如下規律。

當 $n\%4==0$ 時，$f(n) = n$;
當 $n\%4==1$ 時，$f(n) = 1$;
當 $n\%4==2$ 時，$f(n) = n+1$;
當 $n\%4==3$ 時，$f(n) = 0$;

數學上可以證明這個結論，可以參考Mychael的博客園博客。 我們可以記住這個公式，或者通過如下歸納推導出。

$n$	$x$	$cal(1,x)$	$n$	$x$	$cal(1,x)$
1	1	1	1	2	3
2	5	1	2	6	7
3	9	1	3	10	11
4	13	1	4	14	15
$n$	$4n+1$	1	$n$	$4n+2$	$x+1$

$n$	$x$	$cal(1,x)$	$1$	$x$	$cal(1,x)$
1	3	0	1	4	4
2	7	0	2	8	8
3	11	0	3	12	12
4	15	0	4	16	16
$n$	$4n+3$	0	$n$	$4n$	$x$

定義區間異或運算爲 $cal(a, b)$，又因爲異或運算 $z = xor(x, y)$ 的逆運算還是異或運算 $y = xor(x, y)$。那麼要通過 $cal(1,b)$ 求 $cal(a, b)$，只需再對$[1,a-1]$進行一次異或運算即可。

$cal(a, b) = cal(1, a - 1) \ xor \ cal(1, b)$

3. 代碼

#include <iostream>
using namespace std;

#define DEBUG

long long seriesXor(long long m, long long n)
{
    long long ans = m;
    for (long long i = m + 1; i <= n; i++) {
        ans ^= i;
    }
    return ans;
}

long long calculate(int x)
{
    if (x % 4 == 0) {
        return x;
    } else if (x % 4 == 1) {
        return 1;
    } else if (x % 4 == 2) {
        return x + 1;
    } else if (x % 4 == 3) {
        return 0;
    } else {
        return 0;
    }
}

int main()
{
    // 輸入
    int a, b, ans = 0;
    scanf("%d %d", &a, &b);
    // 計算
    ans = calculate(b) ^ calculate(a - 1);
    // 輸出
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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