強勢 圖解 AC自動機（保證您一次就能學會！）

前置技能

• 字典樹
• KMP匹配

簡介

看dalao們AC自動機的Blog，大多數奆奆都會感性地說： AC_automation = KMP+TRIE<!--more--> 然而在作者重蹈覆轍輾轉反側n次後才明白，這東西說了等於沒說。

• AC自動機是一種有限狀態自動機（說了等於沒說），它常被用於多模式串的字符串匹配。
• 在學完AC自動機，筆者也總結出一句說了等於沒說的話： AC自動機是以TRIE的結構爲基礎，結合KMP的思想建立的。

建立AC自動機

建立一個AC自動機通常需要兩個步驟：

• 基礎的TRIE結構：將所有的模式串構成一棵Trie。
• KMP的思想：對Trie樹上所有的結點構造失配指針。

然後就可以利用它進行多模式匹配了。

TRIE構建

• 和trie的insert操作一模一樣（強調！一模一樣！）
• 因爲我們只利用TRIE的結構，所以只需將模式串存入即可。

構造失配（ $fail$ ）指針

在講構造以前，先來對比一下這裏的 $fail$ 指針與KMP中的next指針：

• 共同點-兩者同樣是在失配的時候用於跳轉的指針。
• 不同點-KMP要求的是最長相同真前後綴，而AC自動機只需要相同後綴即可。
  • 因爲KMP只對一個模式串做匹配，而AC自動機要對多個模式串做匹配。
  • 有可能 $fail$ 指針指向的結點對應着另一個模式串，兩者前綴不同。
  • 也就是說，AC自動機在對匹配串做逐位匹配時，同一位上可能匹配多個模式串。
  • 因此 $fail$ 指針會在字典樹上的結點來回穿梭，而不像KMP在線性結構上跳轉。

下面介紹構建 $fail$ 指針的基礎思想：（強調！基礎思想！基礎！）

• 構建 $fail$ 指針，可以參考KMP中構造next數組的思想。
• 我們利用部分已經求出 $fail$ 指針的結點推導出當前結點的 $fail$ 指針。具體我們用BFS實現：
  • 考慮字典樹中當前的節點u，u的父節點是p，p通過字符c的邊指向u。
  • 假設深度小於u的所有節點的 $fail$ 指針都已求得。那麼p的 $fail$ 指針顯然也已求得。
  • 我們跳轉到p的 $fail$ 指針指向的結點 $fail[p]$ ；
    • 如果結點 $fail[p]$ 通過字母 $c$ 連接到的子結點 $w$ 存在：
      • 則讓u的fail指針指向這個結點 $w$ （ $fail[u]=w$ ）。
      • 相當於在 $p$ 和 $fail[p]$ 後面加一個字符 $c$ ，就構成了 $fail[u]$ 。
    • 如果 $fail[p]$ 通過字母 $c$ 連接到的子結點 $w$ 不存在：
      • 那麼我們繼續找到 $fail[fail[p]]$ 指針指向的結點，重複上述判斷過程，一直跳 $fail$ 指針直到根節點。
      • 如果真的沒有，就令 $fail[u]=$ 根節點。
• 如此即完成了 $fail$ 指針的構建。

下面放一張GIF幫助大家理解： 對字典樹{i,he,his,she,hers}構建 $fail$ 指針：

• 黃色結點表示當前的結點u，綠色結點表示已經BFS遍歷完畢的結點，紅/橙色的邊表示 $fail$ 指針。

• 2號節點的 $fail$ 指針畫錯了， $fail[2]=0$ .

• 我們重點分析結點6的 $fail$ 指針構建：

• 找到6的父節點5，5的 $fail$ 指針指向10，然而10結點沒有字母's'連出的邊；

• 所以跳到10的 $fail$ 指針指向的結點0，發現0結點有字母's'連出的邊，指向7結點；

• 所以 $fail[6]=7$ .

另外，在構建 $fail$ 指針的同時，我們也對TRIE中模式串的結尾構建 $fail$ 指針。這樣在匹配到結尾後能自動跳轉到下一個匹配項。具體見代碼實現。

從代碼深入剖析

框架

const int N=1000;
struct AC_automaton{
    int tr[N][26],cnt;//TRIE
    int e[N];//標記這個結點是不是字符串結尾
    int fail[N];//fail指針
void insert(char * s){}//插入模式串
void build(){}//構建fail指針
int query(char *t){}//匹配函數

};
AC_automation ac;
}

字典樹與字典圖

• 關於insert()筆者不做分析，先來看build():

  void build(){
  queue<int>q;
  memset(fail,0,sizeof(fail));
  for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);//Q1
  while(!q.empty()){
      int k=q.front();q.pop();
      for(int i=0;i<26;i++){
          if(tr[k][i]){
              fail[tr[k][i]]=tr[fail[k]][i];//Q2
              q.push(tr[k][i]);
          }
          else tr[k][i]=tr[fail[k]][i];//Q3
      }
  }
  }

  首先聲明瞭一個隊列用於BFS，並清空 $fail$ 數組。

這裏的字典樹根節點爲0，我們將根節點的子節點一一入隊。

• Q1-等等，爲什麼不將根節點入隊，非要將它的子節點入隊？

然後開始BFS：

• 每次取出隊首的結點k。注意，結點k本身的 $fail$ 指針已經求得，我們要求的是k的子節點們的 $fail$ 指針。
• 然後遍歷字符集（這裏是0-25，對應a-z）：
  • 如果字符i對應的子節點存在，我們就將這個子節點的 $fail$ 指針賦值爲 $fail[k]$ 的字符i對應的結點。
  • Q2-不是應該用while循環，不停的跳 $fail$ 指針，判斷是否存在字符i對應的結點，然後賦值嗎？怎麼一句話就完了？
  • 否則，k結點沒有字符i對應的子節點，就將 $fail[k]$ 的字符i對應的子節點編號賦值給k
  • Q3-等等，說好的字典樹呢？怎麼將 $fail[k]$ 的子節點直接賦成k的子節點去了？

這三個Questions構成了 $fail$ 指針構建的精髓。

Q1

• 若將根節點入隊，則在第一次BFS的時候，會將根節點的子節點的 $fail$ 指針標記爲本身。
• 而將根節點的子節點入隊，也不影響算法正確性（因爲 $fail$ 指針初始化爲0）

Q2&Q3

• Q2與Q3的代碼是相輔相成的。

• 簡單地來講，我們將 $fail$ 指針跳轉的路徑做了壓縮（就像並查集的路徑壓縮），使得本來需要跳很多次 $fail$ 指針變成跳一次。

• 而這個路徑壓縮的就是Q3的代碼在做的事情之一。

• 我們將之前的GIF圖改一下：

• 藍色結點表示BFS遍歷到的結點k，深藍色、黑色的邊表示執行完Q3代碼連出的字典樹的邊。

• 可以發現，衆多交錯的黑色邊將字典樹變成了字典圖。

• 圖中省略了連向根節點的黑邊（否則會更亂）。

• 我們重點分析一下結點5遍歷時的情況：

• 顯然，本來應該跳2次才能找到7號結點，但是我們通過10號結點的黑色邊直接通過字母s找到了7號結點。

• 因此，Q2結合了Q3的代碼，就能在 $O(1)$ 的時間內對單個結點構造 $fail$ 指針。

這就是build完成的兩件事：構建 $fail$ 指針和建立字典圖。這個字典圖也會在查詢的時候起到關鍵作用。

多模式匹配

• 接下來分析匹配函數query():

  int query(char *t){
  int p=0,res=0;
  for(int i=0;t[i];i++){
      p=tr[p][t[i]-'a'];//Q
      for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1;
  }
  return res;
  }

• 聲明p作爲字典樹上當前匹配到的結點，res即返回的答案
• 循環遍歷匹配串，p在字典樹上跟蹤當前字符。
• 利用 $fail$ 指針找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然後清0。
• 對 $e[j]$ 取反的操作用來判斷 $e[j]$ 是否等於-1。
• Q-讀者可能納悶了：你這裏的p一直在往字典樹後面走，沒有跳 $fail$ 指針啊！這和KMP的思想不一樣啊，怎麼匹配得出來啊

Answer to Q

• 還記得剛纔的字典圖嗎？事實上你並不是一直在往後跳，而是在圖上穿梭跳動。比如，剛纔的字典圖：

• 我們從根節點開始嘗試匹配ushersheishis，那麼p的變化將是：

• 紅色結點表示p結點，粉色箭頭表示p在字典圖上的跳轉，淺藍色的邊表示成功匹配的模式串，深藍色的結點表示跳 $fail$ 指針時的結點。

• 其中的部分跳轉，我們利用的就是新構建的字典圖上的邊，它也滿足後綴相同（sher和her），所以自動跳轉到下一個位置。

• 綜上， $fail$ 指針的意義是，在匹配串同一個位置失配時的跳轉指針，這樣就利用 $fail$ 指針在同一位置上進行多模式匹配，匹配完了，就在字典圖上自動跳轉到下一位置。

總結

到此，你已經理解了整個AC自動機的內容。我們一句話總結AC自動機的運行原理： 構建字典圖實現自動跳轉，構建失配指針實現多模式匹配。

代碼

const int N=1000;
struct AC_automaton{
    int tr[N][26],cnt;//TRIE
    int e[N];//標記字符串結尾
    int fail[N];//fail指針
void insert(char * s){//插入模式串
    int p=0;
    for(int i=0;s[i];i++){
        int k=s[i]-'a';
        if(!tr[p][k])tr[p][k]=++cnt;
        p=tr[p][k];
    }
    e[p]++;
}
void build(){
    queue<int>q;
    memset(fail,0,sizeof(fail));
    for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
        //首字符入隊
        //不直接將0入隊是爲了避免指向自己
    while(!q.empty()){
        int k=q.front();q.pop();//當前結點
        for(int i=0;i<26;i++){
            if(tr[k][i]){
                fail[tr[k][i]]=tr[fail[k]][i];//構建當前的fail指針
                q.push(tr[k][i]);//入隊
            }
            else tr[k][i]=tr[fail[k]][i];
                //匹配到空字符，則索引到父節點fail指針對應的字符，以供後續指針的構建
                //類似並差集的路徑壓縮，把不存在的tr[k][i]全部指向tr[fail[k]][i]
                //這句話在後面匹配主串的時候也能幫助跳轉
        }
    }
}
int query(char *t){
    int p=0,res=0;
    for(int i=0;t[i];i++){
        p=tr[p][t[i]-'a'];
        for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1;
    }
    return res;
}

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