牛客網 NC205036 答題卡 動態規劃

1. 題目描述

1.1. Limit

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Memory Limit: 131072 kB

1.2. Problem Description

牛牛即將要參加考試，他學會了填答題卡。

可惜他豎着的答題卡填成了橫着的 : (

好奇的他想知道對於 $n$ 道題，每道題 $n$ 個選項的答題卡 ( $n \times n$ 的矩陣 )，滿足橫答題卡和豎答題卡圖形一致的方案數有多少種。

注：每道題只能選擇一個選項，即 $n \times n$ 的矩陣中只能塗黑 $n$ 個空。求橫豎對稱的方案數。

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1.3. Input

第一行給出 $n$。

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1.4. Output

輸出方案數，答案對 $10^9 +7$ 取模

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1.5. Sample Input

3

1.6. Sample Output

4

1.7. Notes

$\begin{pmatrix} \blacksquare & \square & \square \\ \square & \blacksquare & \square \\ \square & \square & \blacksquare \\ \end{pmatrix} \Bigg| \begin{pmatrix} \square & \blacksquare & \square \\ \blacksquare & \square & \square \\ \square & \square & \blacksquare \\ \end{pmatrix} \Bigg| \begin{pmatrix} \blacksquare & \square & \square \\ \square & \square & \blacksquare \\ \square & \blacksquare & \square \\ \end{pmatrix} \Bigg| \begin{pmatrix} \square & \square & \blacksquare \\ \square & \blacksquare & \square \\ \blacksquare & \square & \square \\ \end{pmatrix}$

1.8. Source

牛客網 NC205036 答題卡

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2. 解讀

每當矩陣的維度 $n$ 增加1時，可以分爲兩種情況計算。

如果矩陣第 $n + 1$ 行的元素座標爲 $(n + 1, n + 1)$，即在矩陣的右下角時，則原先的 $n \times n$ 維矩陣可以取 $f(n)$ 種情況。

如果矩陣第 $n + 1$ 行的元素座標爲 $(n + 1, x)$，$x \in [1, n]$時，則第 $x$ 行的座標也被確定了，爲$(x, n + 1)$，其餘的 $n - 1$ 行可以取 $f(n - 1)$ 種情況。

則遞推方程爲 $f(n + 1) = f(n) + n \times f(n-1)$。

可以化爲 $f(n) = f(n - 1) + (n - 1) \times f(n-2)$。

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如當 $n$ 從 $2$ 變爲 $3$ 時，過程如下所示。

1. $n = 2$ 時，有兩種情況。

$\begin{pmatrix} \blacksquare & \square \\ \square & \blacksquare \\ \end{pmatrix} \Bigg| \begin{pmatrix} \square & \blacksquare \\ \blacksquare & \square \\ \end{pmatrix}$

2. 當 $n = 3$ 且新增的元素在 $(3, 3)$ 位置時，有 $f(2) = 2$ 種情況

$\begin{pmatrix} \blacksquare & \square \\ \square & \blacksquare \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \blacksquare & \square & \square \\ \square & \blacksquare & \square \\ \square & \square & \blacksquare \\ \end{pmatrix} \Bigg| \begin{pmatrix} \square & \blacksquare \\ \blacksquare & \square \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \square & \blacksquare & \square \\ \blacksquare & \square & \square \\ \square & \square & \blacksquare \\ \end{pmatrix}$

3. 當 $n = 3$ 且新增的元素在 $(3, x)$，$x \in [1,2]$ 位置時，有 $2 \times f(1) = 2$ 種情況。

$\begin{pmatrix} \square & \square & \blacksquare \\ \square & \blacksquare & \square \\ \blacksquare & \square & \square \\ \end{pmatrix} \Bigg| \begin{pmatrix} \blacksquare & \square & \square \\ \square & \square & \blacksquare \\ \square & \blacksquare & \square \\ \end{pmatrix}$

所以 $f(3) = f(2) + 2 \times f(1) = 2 + 2 = 4$。

3. 代碼

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
typedef long long ll;
ll n;
ll f[N];
int main() {
    int i;
    cin>>n;
    f[1]=1; f[2]=2;
    for (i=3;i<=n;i++)
        f[i]=(f[i-1]+(i-1)*f[i-2]%mod)%mod;
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

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