貪心算法之 活動安排

活動安排問題 – 資源爭奪

• 問題描述
  • 設有 n 個活動的集合 A = {1, 2, … , n}, 其中每個活動都要求使用同一資源，而在同一時間段內只有一個活動能使用資源
  • 要求高效安排一系列爭用公共資源的活動
• 問題本質
  • 在所給活動活動集合中選出最大相容活動子集 X
• 實例： 多個部門申請佔用一個資源

部門	物理	數學	化學	外語	生物	音樂	計算機
起始時間	8	9	11	7	10	6	8
結束時間	9	10	12	10	12	8	11

1. 問題描述

   • 輸入： n（問題規模）, s[i]（開始時間），f[i]（終止時間）
   • 輸出： count（存放活動總數）， x[n]（邏輯數組：活動被安排爲 1，未被安排爲 0）
   • 策略
     • s[i] （起始時間） ×
     • Δt （活動時間） ×
     • f[i] （結束時間）√

     顯然s[i] 和 Δt 不能作爲衡量標準，而f[i] 可以作爲衡量標準

2. 算法實現

   • 預處理： f[i] 非遞減序列
   • 貪心選擇
     • 最早完成的活動優先加入相容集合 x

   使剩餘活動可安排時間段極大化，相容活動集最大
   s[i] >= f[j] or s[j] >= f[i]

3. 設計分析

   • 若輸入的活動已就序
     • 算法實現最大相容集時間： O(n)
   • 若給出的活動爲就序
     • 重排: O(nlogn)， 求最大相容集: O(n)
     • T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)
   • 算法中的3個數組和4個普通變量佔用存儲空間
     • S(n) = O(3n) + O(4) = O(n)