贪心算法之 活动安排

活动安排问题 – 资源争夺

• 问题描述
  • 设有 n 个活动的集合 A = {1, 2, … , n}, 其中每个活动都要求使用同一资源，而在同一时间段内只有一个活动能使用资源
  • 要求高效安排一系列争用公共资源的活动
• 问题本质
  • 在所给活动活动集合中选出最大相容活动子集 X
• 实例： 多个部门申请占用一个资源

部门	物理	数学	化学	外语	生物	音乐	计算机
起始时间	8	9	11	7	10	6	8
结束时间	9	10	12	10	12	8	11

1. 问题描述

   • 输入： n（问题规模）, s[i]（开始时间），f[i]（终止时间）
   • 输出： count（存放活动总数）， x[n]（逻辑数组：活动被安排为 1，未被安排为 0）
   • 策略
     • s[i] （起始时间） ×
     • Δt （活动时间） ×
     • f[i] （结束时间）√

     显然s[i] 和 Δt 不能作为衡量标准，而f[i] 可以作为衡量标准

2. 算法实现

   • 预处理： f[i] 非递减序列
   • 贪心选择
     • 最早完成的活动优先加入相容集合 x

   使剩余活动可安排时间段极大化，相容活动集最大
   s[i] >= f[j] or s[j] >= f[i]

3. 设计分析

   • 若输入的活动已就序
     • 算法实现最大相容集时间： O(n)
   • 若给出的活动为就序
     • 重排: O(nlogn)， 求最大相容集: O(n)
     • T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)
   • 算法中的3个数组和4个普通变量占用存储空间
     • S(n) = O(3n) + O(4) = O(n)