揹包問題：0-1揹包以及完全揹包的動態規劃解決

 

0-1揹包問題

【問題描述】有n個重量分別爲{w1，w2，…，wn}的物品，它們的價值分別爲{v1，v2，…，vn}，給定一個容量爲W的揹包。

    設計從這些物品中選取一部分物品放入該揹包的方案，每個物品要麼選中要麼不選中，要求選中的物品不僅能夠放到揹包中，而且重量和爲W具有最大的價值。

 

             即要確定x1、x2、…、xn的值（ 0或1 ），使    w1，w2，…，wn £  W，且 v1x1+v2x2+…+vnxn 取得最大值。

 

f[i][j]，其中i代表加入揹包的是前i件物品，j表示揹包的承重，f[i][j]表示當前狀態下能放進揹包裏面的物品的最大總價值。那麼，f[n][m]就是我們的最終結果了。

（1）假如我們放進揹包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，這裏的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]應該這麼理解：在沒放這件物品之前的狀態值加上要放進去這件物品的價值。

  （2）假如我們不放進揹包，f[i][j] = f[i - 1][j]。

    因此，我們的狀態轉移方程就是：f[i][j] = max(f[i][j] = f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) 

#include "pch.h"
#include <iostream>
#include<algorithm>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[20 + 1][V + 1];
int fk[20 + 1];
static int count = 0;
void trace(int n,int m){
	if (n == 0) return;
	//f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
	fk[n]= (f[n][m] == (f[n - 1][m - weight[n]] + value[n])?1 : 0);
	f[n][m] != (f[n - 1][m - weight[n]] + value[n]) ?  trace(n-1,m) : trace(n-1, m - weight[n]);

}
int main()
{
	
	int n, m;
	cout << "請輸入物品個數:";
	cin >> n;
	cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量和價值:" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> weight[i] >> value[i];
	}
	cout << "請輸入揹包容量:";
	cin >> m;
	for (int i = 0; i <=n ; i++)
	{
		f[i][0] = 0;
	}
	for (int i = 0; i <= m; i++)
	{
		f[0][m] = 0;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (weight[i] > j) {
				f[i][j] = f[i - 1][j];
			}
			else {
				f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
			}
		}
	}
	trace(n, m);
	for (int i = 1; i <=n; i++)
	{
		cout << fk[i] << " ";
	}
	cout << "0/1揹包能放的最大價值爲:" << f[n][m] << endl;
}

完全揹包問題

【問題描述】有n種重量和價值分別爲wi、vi（1≤i≤n）的物品，從這些物品中挑選總重量不超過W的物品，求出挑選物品價值總和最大的挑選方案，這裏每種物品可以挑選任意多件。

 

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[20 + 1][V + 1];
int fk[20 + 1][V + 1];
int main() {
    int n, m;
    cout << "請輸入物品個數:";
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量和價值:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cout << "請輸入揹包容量:";
    cin >> m;
    for (i=1;i<=n;i++)
     for (j=1;j<=m;j++)
     {  if (j<weight[i])
           f[i][j]=f[i-1][j];
        else
           f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-weight[i]]+value[i]);
     }


    cout << "揹包能放的最大價值爲:" << f[n][m] << endl;
}