如何绘制广义根轨迹的理论讲解

参数根轨迹绘制方法

什么叫做参数根轨迹呢?指的是除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹。例如；我们要在如下系统开环传递函数中a=0→∞ 变化，绘制其根轨迹；

(图1)

那么我们都知道，之前所有的根轨迹绘制方法，只有在$k^*$传递函数的情况下才能使用。如今，虽然参数不再是
$k^*$了，但是如果我们要想办法将这个传递函数化成$k^*$的传递函数，按理来说，还能使用之前的规则。

等效开环传递函数

由于，传递函数的根轨迹是由特征方程求出的，那么我们只要保证特征方程不变，就可以找到等效的开环传递函数。但是，此等效传递函数也只能求解绘制根轨迹方程，而不能求解其他问题。
因此，我们首先写出其特征方程为；
$D(S)=S^3+S^2+\frac {1}{4}S+\frac {1}{4}a=0$
我们构造——等效开环传递函数为；

$G^{'}(s)=\frac {a/4}{s^3+s^2+s/4}=\frac {a/4}{s(s+0.5)^2}$
将$a/4$等效成为$k^*$，利用根轨迹绘制法则我们得到如下信息；

1. 实轴根轨迹：[-∞,0]
2. 渐近线：$\sigma_n =-1/3 \ \ \ \ \varphi _a=\pm 60\degree,180\degree$
3. 分离点：$\frac {1}{d} + \frac {2}{d+0.5} = 0$
   解得： $d=-\frac {1}{6} \ \ \ \ \ a_d=4\left| d\right|\left| d+0.5\right|^2=\frac{2}{27}$
4. 与虚轴交点：$D(\omega j)=-\omega ^2+\frac {a}{4}+(-\omega ^3+\frac {1}{4}\omega )j=0$
   解得：$\left\{ \begin{array}{c} \omega =\frac{1}{2}\\ a=1\\ \end{array} \right.$
   最后绘制出根轨迹图像。
   

零度根轨迹

零度根轨迹指的是系统处于正反馈时的根轨迹
如下

写出开环传递函数;
$G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{K^{*}(s-z_1)...(s-z_m)}{(s-p_1)...(s-p_n)}$
那么正反馈条件下,闭环传递函数与开环传递函数之间的关系为;
$\Phi (s)=\frac {G(s)}{1-G\left( s \right) H\left( s \right) }$
因此,特征方程为;
$G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{K^*\left( s-z_1 \right) ...\left( s-z_m \right)}{\left( s-p_1 \right) ...\left( s-p_n \right)}=1$
对上述复数方程取模,则得到模值条件;
$|G\left( s \right) H\left( s \right) |=\frac{K^*\left| s-z_1 \right|...\left| s-z_m \right|}{\left| s-p_1 \right|...\left| s-p_n \right|}=K^*\frac{\prod_{i=1}^m{|\left( s-z_i \right) |}}{\prod_{j=1}^n{|(s-p_j)|}}=1$
将复数方程区相角,则可得到相角条件;
$\angle G\left( s \right) H\left( s \right) =\sum_{i=1}^m{\angle \left( s-z_i \right)}-\sum_{j=1}^n{\angle \left( s-p_j \right)}=2k\pi$
那么我们发现,根轨迹中的模值条件未发生改变,但是相角条件由$(2k+1)\pi$变成了$2k\pi$,因此根轨迹中8条法则中凡是跟相角条件有关的法则都要发生变化,其中有3条要发生变化.

1. 实轴上的根轨迹变化为；从最右端开始偶数到单数之间是根轨迹。
2. 渐近线变化为；
   渐近线角度变化为$\varphi _a=\frac {2k\pi }{n-m}$
   渐近线焦点不变，依旧是；
   $\sigma _a = \frac {\sum_{i=1}^n{p_i}-\sum_{j=1}^m{z_i}}{n-m}$
   3.出射角/入射角变为；
   $\sum_{i=1}^n{\angle (s-p_i)}-\sum_{j=1}^m{\angle (s-z_j)}=2k\pi$

到此呢，广义根轨迹就结束了。
最后再总结一下吧。

• 参数根轨迹的要点是找到等效传递函数来绘制根轨迹。
• 零度根轨迹要注意8条法则中有3条要发生变化，其他的均不发生变化。