量子計算入門基礎學習筆記（二 量子算符與張量）

歡迎來到量子計算專欄的第二節，抱着打破不要自學量子力學魔咒的勇氣，我們接着第一節內容的學習，回顧一下，我們之前介紹了狄拉克符號，量子比特，希爾伯特空間，還有算符的一些基礎知識，在此基礎上，這節內容將會爲大家介紹幾種重要的算符 ，還有張量的一丟丟東西！

一 . 矩陣與量子算符

緊接着上篇博客，瞭解了算符的本質，性質和作用之後，下面深入學習幾種重要的算符！

（1）外積

在這之前，我們先看一個東西叫 外積，我相信大家乍一看這個詞“外積”，是既熟悉又陌生啊，我隱約記得高數下冊裏面學空間幾何的時候好像用它來求過一個空間平面的法向量，那到了線代和量子力學中，外積又是啥呢？

內積我們現在都知道長成這樣：$\left \langle\alpha | \beta \right \rangle$ ，我的通俗理解就是的兩邊狄拉克符中的箭頭都朝外，相反，所以叫內積，故而，我大膽猜測，外積就是這裏兩個箭頭朝內，嘻嘻 ，事實的結果也不出我們所料：

算符 $\left| \alpha \right \rangle \left \langle \beta \right |$ 被定義爲外積 ：
$(\left| \alpha \right \rangle \left \langle \beta \right |) \left| \gamma \right \rangle = \left| \alpha \right \rangle(\left \langle\beta | \gamma \right \rangle) = (\left \langle\beta | \gamma \right \rangle) \left| \alpha \right \rangle$

這是相對於內積而言的，這裏需要特別注意: 外積的本質是一個算符，是一個矩陣，不是和內積一樣爲某個數！,我覺得大家這個時候拿出草稿紙隨便寫幾個態矢量算一算比較好！。

（2） 投影算符

我們假設 $\left| a \right \rangle$ 是一個單位矢量，用一個未知的算符 $P_{a}$作用於任意一個矢量$\left | \gamma \right \rangle$ 得到的新矢量$\left | \beta \right \rangle$爲：
$\left| \beta \right \rangle=P_{a} \left| \gamma \right \rangle = \left| a\right \rangle \left \langle a | \gamma \right \rangle = \left \langle a | \gamma \right \rangle \left| a\right \rangle$

那麼，這裏的 $P_{a}$我們就叫它 投影算符 直接看這個式子理解可能會有點懵，仔細想想不難看出$\left \langle a | \gamma \right \rangle$ 是內積，本質是一個數，最後的結果就是一個數乘上單位矢量$\left| a \right \rangle$ ，總結來說就是：將一個一般矢量$\left| \gamma \right \rangle$ 投影到單位矢量$\left| a\right \rangle$上，得到新矢量的方向與$\left| a\right \rangle$方向相同，長度爲$\left| a\right \rangle$和$\left| \gamma\right \rangle$的內積

它有一些如下的性質：

這裏的子空間我們日後再敘，量子的學習過程中，我們難免會遇到許多新的高級名詞，我認爲這就像做英語閱讀題一樣，不會的單詞先跳過去，隨着我們水平的提升，都會逐漸解決的！

（3）逆算符

先介紹定義：
$AB=BA=I$
那麼，算符 $B$稱爲$A$的逆，記爲$B=A^{-1}$ ，在矢量表達式中,若$\left |\beta \right \rangle= A \left | \alpha \right \rangle$ ,則有$\left | \alpha \right \rangle=A^{-1}\left |\beta \right \rangle$,這裏和我在線代中的逆矩陣有異曲同工之妙！

（4）厄米算符 Hermitian operators

對於希爾伯特空間 H 中的任意線性算符 A,都有存在且唯一的線性算符 $A^{+}$，(注意，這裏的符號和伴隨矩陣不一樣，切勿混淆！)，稱爲 A 的伴隨或厄米共軛算符，其與空間H中的所有矢量$\left| \alpha \right \rangle$, $\left| \beta \right \rangle$都滿足以下關係：
$\left \langle \alpha |A\beta \right \rangle = \left \langle A^{+}\alpha |\beta \right \rangle$

大家注意，這裏由於csdn不支持這麼高級的公式輸入。。。。。
我將這個厄米算符的上標改成了 + 號，其實他是長下圖這樣的, 大家知道就好了 :

即一個算符A先作用於 $\left| \beta \right \rangle$得到的新矢量再與 $\left| \alpha \right \rangle$作內積，其結果與 A 的厄米算符 $A^{+}$直接作用於$\left| \alpha \right \rangle$的結果再和 $\left| \beta \right \rangle$作內積的結果是一樣的！這個算符幹嘛用的 ，有啥性質呢？

我們都知道算符的本質是一個矩陣，而厄米算符想表達的就是厄米矩陣！ 那厄米矩陣是什麼呢？

重要性：量子力學中的力學量用算符來表示，而實驗上的可觀測的物理量要用厄米算符來表示。因此，要弄清物理量的特點，研究厄米算符的性質就顯得尤爲重要！
這就又和波函數扯上關係了，我醉了~~

性質：

我們到後面的深入研究時會經常用到這個算符，大家一定要掌握這個東西！

（5）幺正 算符 Unitary

這個和厄米算符與逆算符是捆綁銷售的！

如果算符 U 存在如下關係：
$UU^{+} = U^{+}U= I$
那麼, U就被定義爲幺正算符！顯然：幺正算符的厄米共軛就是它的逆算符，即 $U^{+} = U^{-1}$。
同樣，其本質就是幺正矩陣（酉矩陣）！

若酉矩陣的元素都是實數，其即爲正交矩陣（實矩陣）。與正交矩陣G不會改變兩個實向量的內積類似：$\left ( G_{x},G_{y} \right ) = \left ( x,y \right )$

此外，酉矩陣U不改變兩個復向量的內積：$\left ( U_{x},U_{y} \right ) = \left ( x,y \right )$

酉矩陣的特徵值都是模爲1的複數，即分佈在複平面的單位圓上，因此酉矩陣行列式的值也爲1！

二 . 張量與量子比特

相信大家在線代的學習過程中都或多或少聽到過張量這個名詞，雖然在大一的線代課中並沒有關於它的內容，但這絕不影響它在量子計算領域獨一無二的位置！下面，我們結合量子比特來了解一下！

（1）概念理解

什麼是張量呢？它只是我們對矩陣認識在多維空間的升級版而已！

看了這個圖，我也就不用再多說什麼了，非常形象的告訴了我們各階張量的是啥東西！可是這個三維張量我們能想到，那四維，五維的呢？

先把三維張量畫成一個立方體：

接着就簡單了，和前面的思路一樣：

這樣，就可以無限延伸了，和數據結構裏面的那個啥 高維數組有點像！

這個方法是爲了大家能更好的通俗理解，“張量”在不同的運用場景下有不同的定義，我們先理解到這，後面再深入！

（2）張量運算與量子比特對

通過上面，我們可以認爲張量也可以像向量和矩陣一樣有運算法則，我們以向量爲例給出一個m維向量與n維向量的張量乘積 體會一下：
$\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{m} \end{bmatrix} \bigotimes \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{1}b_{1}\\ \vdots \\ a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} \\ \vdots \\ a_{2}b_{n} \\ \vdots \\ a_{m} b_{n} \end{bmatrix}$
矩陣相乘的條件比較苛刻，第一個矩陣的的列數必須和第二個矩陣的行數相等，這個張量就寬泛多了，依次相乘！

回到主題上來，We all know, 量子態可以疊加的物理特性是實現量子並行計算的基礎，量子態能夠糾纏是實現信息高速且不可破譯的理論前提！我們開始定量的從張量角度學習這個。

量子態中的 $\left| 0 \right \rangle$ 和 $\left| 1 \right \rangle$ ，該對量子比特用矩陣定義爲：
$\left| 0 \right \rangle \equiv \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} \qquad \left| 1 \right \rangle \equiv \begin{pmatrix}0 \\1 \end{pmatrix}$
這一對量子比特有可以組成4個不重複的比特對：

注意，這已經是四維空間的向量了！

好，這一次的量子計算博客學習就到這裏了，如果大家發現有錯誤的地方可以在評論區留言，本人會及時改正，覺得博主寫的還可以的可以點點關注，點點贊！本人基本上是每週一更，希望大家支持！